Конспект лекций

Матричная ОС.

Ее особенность заключается в дифференциации связей линейной и функциональной подчиненности, что делает структуру адаптивной к изменениям окружающей среды, гибкой в использовании потенциала профессионализма и во временной организации ее функционирования.

Матричные ОС имеют большое распространение в управлении современными крупными фирмами, особенно транснациональными.

по дисциплине «Основы теории автоматического управления»

для студентов специальности 050713 – Транспорт, транспортная техника и технологии

Тема 1. Введение

Цель лекции: выяснить предпосылки возникновения дисциплины «основы теории автоматического управления» и степень автоматизации производственных процессов транспортной техники в настоящее время.

План лекции:

1. История появления дисциплины.

2. Математический аппарат теории автоматического управления.

1. Первые теоретические работы в области автоматического управления появились в конце XIX в., когда в промышленности получили широкое распространение регуляторы паровых машин, инженеры-практики стали сталкиваться с трудностями при проектировании и наладке этих регуляторов. Именно в этот период были выполнены ряд исследований, в которых впервые паровая машина и ее регулятор были проанализированы математическими методами как единая динамическая система. Приблизительно до середины 20-го столетия теория регуляторов паровых машин и котлов развивалась как раздел прикладной механики. Параллельно разрабатывались методы анализа и расчета автоматических устройств в электротехнике. Формирование теории автоматического управления (ТАУ) в самостоятельную научную и учебную дисциплину произошло в период с 1940 по 1950 годы. В это время были изданы первые монографии и учебники, в которых автоматические устройства различной физической природы рассматривались едиными методами. В настоящее время ТАУ наряду с новейшими разделами так называемой общей теории управления (исследование операций, системотехника, теория игр, теория массового обслуживания) играет важную роль в совершенствовании и автоматизации управления производством. ТАУ вместе с теорией функционирования элементов систем управления (датчиков, регуляторов, исполнительных механизмов) образует более широкую отрасль науки – автоматику. Автоматика, в свою очередь, является одним из разделов технической кибернетики. Техническая кибернетика изучает сложные автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУТП) и предприятиями (АСУП), построенными с использованием управляющих электронных вычислительных машин.

Автоматизация является одним из главных направлений научно-технического прогресса и важным средством повышения эффективности производства. Современное промышленное производство характеризуется: ростом масштабов и усложнением технологических процессов, увеличением мощности отдельных агрегатов и установок, применением интенсивных, высокоскоростных режимов, близких к критическим, повышением требований к качеству продукции, безопасности персонала, сохранности оборудования и окружающей среды. Экономичное, надежное и безопасное функционирование сложных технических объектов может быть обеспечено с помощью лишь самых совершенных технических средств, разработка, изготовление, монтаж, наладка и эксплуатация которых немыслимы без знания ТАУ.

Современными тенденциями в автоматизации производства являются:

- широкое применение ЭВМ для управления;

- создание машин и оборудования со встроенными микропроцессорными средствами измерения, контроля и регулирования;

- переход на децентрализованные (распределенные) структуры управления с микроЭВМ;

- внедрение человеко-машинных систем;

- использование высоконадежных технических средств;

- автоматизированное проектирование систем управления.

2. Изучение и математический анализ систем автоматического управления (САУ) существенно облегчаются, если ее предварительно мысленно расчленить на типовые элементы, выявить физические взаимосвязи между ними и отобразить эти взаимосвязи схематично в какой-либо условной форме.

САУ может быть разделена на части по различным признакам: назначению частей, алгоритмам преобразования информации, конструктивной обособленности. Соответственно различают следующие структуры и структурные схемы САУ:

· функциональную;

· алгоритмическую;

· конструктивную.

При этом будем понимать, что:

структура – совокупность связанных между собой частей чего-либо целого;

структурная схема – графическое изображение структуры.

В теории автоматического управления чаще всего имеют дело с функциональной и алгоритмической структурами (схемами). Поэтому рассмотрим их более подробно.

Функциональные и алгоритмические схемы состоят из условных изображений элементов и звеньев (обычно в виде прямоугольников) и различных связей, изображаемых в виде линий со стрелками, показывающих направление передачи воздействий. Каждая линия соответствует обычно одному сигналу или одному воздействию. Около каждой линии указывают физическую величину, характеризующую данное воздействие.

Обычно вначале составляют функциональную схему АСУ, а затем – алгоритмическую.

Структурные схемы могут составляться с большей или меньшей степенью детализации. Схемы, на которых показаны лишь главные или укрупненные части АСУ, называются обобщенными (рисунок 1.1).

Функциональная структура (схема) – структура (схема), отражающая функции (целевые назначения) отдельных частей АСУ.

Такими функциями могут быть:

· получение информации о состоянии объекта управления;

· преобразование сигналов;

·

сравнение сигналов и т.п.

Рисунок 1.1 - Обобщенная структурная схема АСУ

В качестве частей функциональной структуры (схемы) АСУ рассматриваются функциональные устройства. Названия устройств указывают на выполнение определенной функции. Например:

· датчик;

· усилитель;

· блок сравнения;

· управляющий блок;

· исполнительное устройство и т.п.

На рисунке 1.2 приведен пример функциональной схемы АСУ, где изображены следующие функциональные устройства:

Д – датчик – предназначен для получения сигнала, пропорционального определенному воздействию;

ЭС – элемент сравнения – служит для получения сигнала, пропорционального отклонению управляемой величины x(t) от задающего воздействия xз(t);

КУ – корректирующее устройство – предназначено для улучшения качества управления;

УПБ – усилительно-преобразующий блок – служит для усиления сигнала и придания ему определенной формы;

РО – регулирующий орган – служит для непосредственного воздействия на регулируемую среду (примеры РО: вентиль, задвижка, тиристор и т.п.);

ИУ – исполнительное устройство – предназначено для приведения в действие регулирующего органа (примеры ИУ: электродвигатель, электромагнит и т.п.).

Алгоритмическая структура (схема) – структура (схема), представляющая собой совокупность взаимосвязанных алгоритмических звеньев и характеризующая алгоритмы преобразования информации в АСУ.

При этом алгоритмическое звено - часть алгоритмической структуры АСУ, соответствующая определенному математическому или логическому алгоритму преобразования сигнала.

Если алгоритмическое звено выполняет одну простейшую математическую или логическую операцию, то его называют элементарным алгоритмическим звеном. На схемах алгоритмические звенья изображают прямоугольниками, внутри которых записывают соответствующие операторы преобразования сигналов. Иногда вместо операторов в формульном виде приводят графики зависимости выходной величины от входной или графики переходных функций.

Различают следующие виды алгоритмических звеньев:

·

статическое;

· динамическое;

· арифметическое;

· логическое.

Рисунок 1.2 - Функциональная схема САУ

Статическое звено – звено, преобразующее входной сигнал в выходной мгновенно (без инерции). Связь между входным и выходным сигналами статического звена описывается обычно алгебраической функцией. К статическим звеньям относятся различные безынерционные преобразователи, например, резистивный делитель напряжения. На рисунке 1.3а показано условное изображение статического звена на алгоритмической схеме.

Динамическое звено – звено, преобразующее входной сигнал в выходной в соответствии с операциями интегрирования и дифференцирования во времени. Связь между входным и выходным сигналами динамического звена описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

К классу динамических звеньев относятся элементы САУ, обладающие способностью накапливать какой-либо вид энергии или вещества, например, интегратор на основе электрического конденсатора.

Арифметическое звено – звено, осуществляющее одну из арифметических операций: суммирование, вычитание, умножение, деление.

Наиболее часто встречающееся в автоматике арифметическое звено – звено, выполняющее алгебраическое суммирование сигналов, называют сумматором.

Логическое звено – звено, выполняющее какую-либо логическую операцию: логическое умножение («И»), логическое сложение («ИЛИ»), логическое отрицание («НЕ») и т.д.

Входной и выходной сигналы логического звена являются обычно дискретными и рассматриваются как логические переменные.

На рисунке 3 показаны условные изображения элементарных алгоритмических звеньев.

Рисунок 1.3 - Условные изображения элементарных алгоритмических звеньев:

а – статическое; б – динамическое; в – арифметическое; г – логическое

Конструктивная структура (схема) – структура (схема), отражающая конкретное схемное, конструктивное и прочее исполнение АСУ.

К конструктивным схемам относятся: кинематические схемы устройств, принципиальные и монтажные схемы электрические соединений и т. д. Так как ТАУ имеет дело с математическими моделями АСУ, то конструктивные схемы интересуют в значительно меньшей степени, чем функциональные и алгоритмические.

Контрольные вопросы:

1. Почему автоматизация является одним из главных направлений научно-технического процесса?

2. По каким признакам классифицируются САУ?

3. Какие бывают звенья?

4. Какие существуют структуры (схемы) САУ?

Тема 2. Основные задачи теории автоматического управления

Цель лекции: уяснить сущность понятия объекта управления, его связь с окружающей средой, величины, действующие на объект управления; уметь отличать автоматизированную систему управления от системы автоматического управления; уяснить понятие алгоритма функционирования и основные задачи автоматического управления; уяснить понятие закона управления и принципов действия САУ.

План лекции:

1. Рабочие операции и операции управления. Объекты управления и их свойства.

2. Классификация систем управления.

3. Задачи автоматического управления (алгоритмы функционирования).

4. Законы управления.

5. Принципы управления САУ. Обратная связь и ее типы.

1. Для выполнения какого-либо технологического процесса и получения готовой продукции с заданными свойствами и заданного качества необходимо выполнить два вида операций: рабочие операции и операции управления. Целью любого технологического процесса является получение готовой продукции с заданными свойствами.

Рабочие операции – действия, которые необходимо совершить для выполнения технологического процесса в соответствии с законами природы. Замена труда человека трудом машин и механизмов в рабочих операциях называется механизацией.

Операции управления – операции начала, окончания работы, операции переключения с режима на режим, операции выделения необходимых материальных и энергетических ресурсов и т.п. Замена труда человека трудом машин и механизмов в операциях управления называется автоматизацией. Машины или механизмы (установки), выполняющие операции управления называются автоматами.

Объект управления (ОУ) – совокупность технических средств, орудий труда и т.п., с помощью которых выполняется технологический процесс. Существует ряд технологических процессов, на ход которых существенно влияет окружающая среда, в этом случае необходимо ее вводить в состав объекта управления. Во всех остальных случаях окружающая среда не входит в состав объекта управления. Все объекты управления обладают рядом свойств: нагрузка, емкость, самовыравнивание, инерционность, запаздывание, время разгона, постоянная времени.

Для возможности управления объект управления имеет один или несколько органов управления (регулирующих органов), при помощи которых можно изменять поступление в объект управления энергии или вещества, изменяя его состояние в соответствии с предписанным регламентом работы. Состояние объекта управления может характеризоваться многими показателями или параметрами. Основным показателем, для которого определяют цель управления, называется управляемой (выходной) величиной. Независимо от физической природы она обычно обозначается y(t). Основной задачей автоматического управления будет являться обеспечение равенства между выходной величиной и задающим (входным) воздействием (величиной). Обычно входная величина обозначается x(t). В процессе работы на объект управления действуют различные внешние и внутренние факторы – возмущающие воздействия (возмущения), которые обозначим f(t). Эти возмущения приводят к изменению управляемой величины и отклонению выходной величины от заданного значения. Это отклонение обозначим следующим образом:

, (2.1)

где x₀ – заданное значение выходной величины, y –действительное значение выходной величины. Причем ε может быть как больше нуля, так и меньше нуля в зависимости от величины возмущающего воздействия.

Управляющие воздействия (обозначим их u(t)) стремятся вернуть выходную величину к заданному значению, их величина и знак будут зависеть от величины и знака отклонения выходной величины от заданного значения.

2. Совокупность объекта управления и автоматических устройств, выполняющих операции управления, называется системой управления. Для создания системы управления необходимо вначале полностью механизировать технологический процесс. Системы управления можно разделить на: автоматизированные системы управления (АСУ) и системы автоматического управления (САУ).

Автоматизированными системами управления называются системы, в которых часть операций управления выполняют автоматические устройства, а часть (обычно наиболее ответственные операции управления) сохраняются за человеком.

Системами автоматического управления называются системы управления, в которых все операции управления выполняют автоматические устройства.

Одномерными (системами с одним каналом управления «вход-выход») называют системы управления, в которых выделяют одну входную и одну выходную величину. Многомерными называют системы с несколькими входными и выходными величинами.

Классификация САУ может быть осуществлена также и по другим принципам и признакам, характеризующим назначение и конструкцию систем, вид применяемой энергии, используемые алгоритмы управления и функционирования и т.д., например:

- в зависимости от характера изменения задающего воздействия во времени: стабилизирующие, программные, следящие;

- в зависимости от конфигурации цепи воздействий: с разомкнутой цепью воздействий (разомкнутая система), с замкнутой цепью воздействий (замкнутая система), с комбинированной цепью воздействий (комбинированная система);

- в зависимости от способа выработки управляющего воздействия: беспоисковые, поисковые;

- в зависимости от вида сигналов, действующих в системах: непрерывные, дискретные;

- по степени зависимости управляемой величины в установившемся режиме от величины возмущающего воздействия: статические, астатические;

- по виду дифференциальных уравнений, описывающих элементы САУ: линейные, нелинейные;

- в зависимости от принадлежности источника энергии, при помощи которого создается управляющее воздействие: прямого действия, непрямого действия.

3. В технологическом производстве используется множество машин, механизмов и установок, предназначенных для выполнения разнообразных функций. Управление ими направлено на достижение определенной цели, для которой эта машина создана. Совокупность правил предписаний или математических зависимостей, определяющих последовательность изменения выходной величины, соответствующее нормальному функционированию объекта, называется алгоритмом функционирования (АФ). Алгоритм функционирования отражает и представляет фактическую цель управления и определяется на основе технологических, экономических и других требований изменения выходной величины объекта в процессе его функционирования.

Основными алгоритмами функционирования считаются:

1) алгоритм стабилизации – этоалгоритм функционирования, при котором значение управляемой величины объекта поддерживается неизменным: . Знак»означает, что управляемая величина поддерживается на заданном уровне с некоторой ошибкой. Стабилизирующие системы самые распространенные в промышленной автоматике. Их применяют для стабилизации различных физических величин, характеризующих состояние технологических объектов.

2) программное управление – алгоритм функционирования, при котором управляемая величина объекта изменяется по заранее заданной программе.Системы, реализующие данный алгоритм функционирования называют программными. Программа может быть задана во времени (временное программное управление) и в пространстве (пространственное программное управление). Главной задачей систем программного управления является воспроизведение программы с заданной точностью.

3) следящие системы – алгоритм функционирования следящей системы заключается в том, что выходная величина должна повторять изменение входной величины, причем закон изменения последней заранее неизвестен. Основной задачей следящих систем является точное воспроизведение входной величины при наличии возмущений.

4) алгоритм поиска экстремума – предполагает отыскание и поддержание выходной переменной объекта управления при изменении состояния объекта и возмущений.

5) алгоритм оптимального управления – предполагает достижение наилучших в определенном смысле условий работы объекта управления в переходном режиме при наличии ограничений на входные, выходные величины и переменные состояния объекта.

6) алгоритм адаптации – предполагает такое изменение выходных величин объекта управления, при которых сохраняется заданное качество работы объекта, при этом система может изменять свои параметры и структуру.

7) алгоритм управления – зависит как от алгоритма функционирования, так и от динамических свойств объекта управления. Эта связь может быть представлена различными математическими зависимостями. В общем случае: , (2.2)

где А – оператор определяющий вид зависимости.

4. Математическая зависимость, устанавливающая связь между управляющим воздействием и выходной величиной объекта управления, называется законом управления. Законы управления делятся на: позиционные (релейные) и непрерывные.

Позиционный (релейный) закон – управляющее воздействие появляется только при достижении управляемой величиной заданного порогового значения. При этом управляющее воздействие принимает определенное фиксированное значение (позицию) в зависимости от того порогового значения, которого достигла выходная величина. Регулирующее воздействие в позиционных законах может принимать два или три фиксированных значения (позиции), при определённых значениях регулируемого параметра, и соответственно называются: двухпозиционными и трёхпозиционными. В двухпозиционных законах регулирующий орган может занимать только два положения: больше - меньше, открыто – закрыто, включен – отключен. Двухпозиционное регулирование осуществляется тем лучше, чем больше ёмкость объекта. Недостатком двухпозиционного объекта регулирования является невозможность сочетания быстрого регулирования, когда требуется большая мощность и высокая точность регулирования, когда требуется небольшая избыточная мощность. В трёхпозиционных законах регулирующий орган имеет ещё среднее положение, в котором обеспечивается подача энергии или вещества в объект в количествах соответствующих его потреблению при нормальной нагрузке и заданном значении регулируемой величины. Трёхпозиционный закон осуществляют более качественное регулирование, чем двухпозиционный.

В непрерывных законах управления регулирующий (управляющий) сигнал подаётся на исполнительный орган непрерывно при наличии отклонения регулируемой величины от заданного значения. В линейных регуляторах непрерывного действия управляющее воздействие линейно зависит от отклонения выходной величины от заданного воздействия, его интеграла и первой производной по времени. Различают следующие непрерывные законы управления:

1) пропорциональный закон (П-закон) - величина управляющего воздействия пропорциональна отклонению выходной величины от заданного значения: , (2.3)

где: k_p – коэффициент передачи, ε = х₀ - у – отклонение выходной величины от заданного значения.

2) интегральный закон (И-закон) - величина управляющего воздействия пропорциональна интегралу отклонению выходной величины от заданного значения: , (2.4)

где Т_и – имеет размерность времени и называется постоянной интегрирования.

3) дифференциальный закон (Д-закон) - величина управляющего воздействия пропорциональна первой производной по времени отклонения выходной величины от заданного значения: , (2.5)

где Т_d – имеет размерность времени и называется постоянной дифференцирования.

4) пропорционально-интегральный закон (ПИ-закон) - величина управляющего воздействия пропорциональна отклонению выходной величины от заданного значения и интегралу отклонения выходной величины от заданного значения: . (2.6)

5) пропорционально-дифференциальный закон (ПД-закон) – величинауправляющего воздействия пропорциональна отклонению выходной величины от заданного значения и первой производной по времени отклонения выходной величины от заданного значения: . (2.7)

6) пропорционально-интегрально-дифференциальный закон (ПИД-закон) - величина управляющего воздействия пропорциональна отклонению выходной величины от заданного значения, интегралу отклонения выходной величины от заданного значения и первой производной по времени отклонения выходной величины от заданного значения: . (2.8)

Закон управления выбирается в зависимости от свойств объекта управления.

5. В основе построения систем автоматического управления лежат общие фундаментальные принципы управления. В настоящее время используются три основных принципа управления: разомкнутого управления, компенсации возмущения и управления по отклонению.

Принцип разомкнутого управления заключается в том, что алгоритм управления строится только на основе алгоритма функционирования путем выбора законов, определяющих действие управляющего устройства с учетом свойств объекта управления. Здесь не учитывается фактическое значение управляемой величины и действие возмущений. Алгоритм функционирования может задаваться отдельным устройством.

Принцип компенсации возмущения (принцип управления по возмущению, принцип Понселе-Чиколева) заключается в том, что управляющее воздействие формирует управляющее воздействие таким образом, чтобы компенсировать действие возмущения на объект управления. Данный принцип позволяет компенсировать действие возмущения, которое может быть измерено, причем для каждого вида возмущения необходимо использовать отдельное компенсирующее устройство.

Принцип управления по отклонению (принцип обратной связи, принцип управления по замкнутому контуру) заключается в том, что управляющее воздействие формируется только при отклонении управляемой величины от заданного ее значения. Алгоритм управления формируется блоком управления после сравнения заданного алгоритма функционирования и фактического значения выходной величины объекта управления. Для этого в схему вводят дополнительную связь с выхода объекта управления в блок управления, эта дополнительная связь называется обратной связью. Преимущество данного принципа управления обуславливается наличием обратной связи.

Обратная связь – передача сигнала или его части обратно на вход элемента или обратно на вход любого из предыдущих элементов. В данном принципе управления сигнал с выхода объекта управления подается обратно на вход блока управления, т.е. как бы замыкает контур управления. По своему действию обратная связь делится на несколько видов. Когда воздействие по цепи обратной связи складывается с задающим воздействием, то такая обратная связь называется положительной. Когда воздействие по цепи обратной связи вычитается из задающего воздействия, то такая обратная связь называется отрицательной. Системы, работающие по принципу управления по отклонению, представляют собой системы с отрицательной обратной связью. Обратная связь, образуемая регулятором по отношению к объекту управления, называется главной. Обратные связи, которые могут быть в самом регуляторе, называются местными. Обратная связь, действующая в установившемся и переходном режимах, называется жесткой, действующая только в переходном режиме, называется гибкой.

Контрольные вопросы:

1. Какие операции называются рабочими, а какие – операциями управления?

2. Что называется механизацией и автоматизацией?

3. Что называется объектом управления? Каковы его свойства?

4. Какая система управления называется автоматизированной, а какая автоматической?

5. В каком случае система управления называется одномерной, а в каком – многомерной?

6. Что называется алгоритмом функционирования?

7. Какие алгоритмы функционирования Вы знаете, и в чем они заключаются?

8. Что называется законом управления?

9. Какие законы управления Вы знаете, и в чем они заключаются?

10. Какие принципы управления Вы знаете, и в чем они заключаются?

Тема 3. Математические модели САУ

Цель лекции: выяснить различия между статическим и динамическим режимами движения САУ; изучить особенности статического режима движения САУ и методы линеаризации статических характеристик; изучить особенности динамического режима движения САУ и описание САУ с помощью: дифференциальных уравнений, временных характеристик, передаточной функции, частотных характеристик; изучить основные типовые динамические звенья и их передаточные функции; изучить временные и частотные характеристики типовых динамических звеньев; изучить основные соединения типовых динамических звеньев; уяснить понятие структурной схемы и изучить правила свертывания структурных схем.

План лекции:

1. Статический и динамический режимы движения САУ.

2. Математическое описание элементов и систем в статическом режиме.

3. Математическое описание элементов и систем в динамическом режиме.

4. Понятие типового динамического звена. Классификация типовых динамических звеньев.

5. Структурная схема. Правила преобразования (свертывания) структурных схем.

6. Пример определения статических и динамических характеристик элемента САУ.

1. По характеру изменения выходной величины во времениразличают следующие режимы движения системы автоматического управления:

- статический;

- динамический.

Статический режим – состояние элемента или системы, при котором выходная величина не изменяется во времени, т.е. y(t) = const.

Очевидно, что статический режим (или состояние равновесия) может иметь место лишь тогда, когда входные воздействия постоянны во времени. Связь между входными и выходными величинами в статическом режиме описывают алгебраическими уравнениями.

Динамический режим – состояние элемента или системы, при котором входная величина непрерывно изменяется во времени, т.е. y(t) = var.

Динамический режим имеет место, когда в элементе после приложения входного воздействия происходят процессы установления заданного состояния или заданного изменения выходной величины. Эти процессы описываются в общем случае дифференциальными уравнениями.

Динамические режимы в свою очередь разделяются на:

- неустановившийся (переходный);

- установившийся (квазиустановившийся).

Неустановившийся (переходный) режим – режим, существующий от момента начала изменения входного воздействия до момента, когда выходная величина начинает изменяться по закону этого воздействия.

Установившийся режим –режим, наступающий после того, когда выходная величина начинает изменяться по такому же закону, что и входное воздействие, т. е. наступающий после окончания переходного процесса.

В установившемся режиме элемент совершает вынужденное движение. Очевидно, что статический режим является частным случаем установившегося (вынужденного) режима при x(t) = const.

2. Передаточные свойства элементов и САУ в статическом режиме описывают с помощью статических характеристик.

Статическая характеристика элемента – зависимость выходной величины y элемента от входной x: y = f(x) = y(x) в установившемся статическом режиме.

Статическая характеристика конкретного элемента может быть задана в аналитическом виде (например, y = kx²) или в виде графика. Как правило, связь между входной и выходной величинами – однозначная. Элемент с такой связью называют статическим (позиционным). Элемент с неоднозначной связью – астатическим.

По виду статических характеристик элементы разделяют на:

- линейные;

- нелинейные.

Линейный элемент – элемент, имеющий статическую характеристику в виде линейной функции: y = b + ax (график 1 рисунка 3.1).

Нелинейный элемент – элемент, имеющий нелинейную статическую характеристику. Нелинейная статическая характеристика аналитически обычно выражается в виде степенных функций, степенных полиномов, дробных рациональных функций и более сложных функций.

Нелинейные элементы в свою очередь подразделяют на:

- элементы с несущественно нелинейной статической характеристикой;

- элементы с существенно нелинейной статической характеристикой.

Несущественно нелинейная (гладкая нелинейная) статическая характеристика – характеристика, описываемая непрерывной дифференцируемой функцией. Практически это математическое условие означает, что график функции y = f(x) должен иметь гладкую форму (график 2 рисунка 3.1).В ограниченном диапазоне изменения входной величины x такая характеристика может быть приближенно заменена (аппроксимирована) линейной функцией. Приближенная замена нелинейной функции линейной называется линеаризацией. Линеаризация нелинейной характеристики правомерна, если в процессе работы элемента его входная величина меняется в небольшом диапазоне вокруг некоторого значения x = x₀. Наиболее простым способом линеаризации является метод осреднения, который применяется в случае, когда достаточно гладкая характеристика не может быть аппроксимирована аналитической функцией. Метод малых отклонений (приращений) основан на замене нелинейной характеристики у(х) в окрестностях точки О с координатами (х₀, у₀) прямой, касательной в этой точке. Если статическая характеристика описывается аналитической функцией, то линеаризация выполняется путем разложения функции у(х) в ряд Тейлора для выбранной точки разложения.

Существенно нелинейная статическая характеристика – характеристика, описываемая неоднозначной функцией или функцией, имеющей изломы или разрывы (график 3 рисунка 3.1).

3. Передаточные свойства элементов и систем в динамическом режиме описывают с помощью динамических характеристик..

Различают следующие формы динамических характеристик:

- обыкновенное дифференциальное уравнение;

- временные характеристики;

- передаточная функция;

- частотные характеристики.

· Обыкновенное дифференциальное уравнение является наиболее общей и полной формой описания передаточных свойств элементов и систем.

Для элемента имеющего один входной сигнал x(t) и один выходной y(t) обыкновенное дифференциальное уравнение в общем случае имеет вид:

Ф[y(t),y¢(t),…y⁽ⁿ⁾(t);x(t),…x^(m)(t),t] = 0, (3.1)

где t – независимая переменная (обычно время).Для реальных систем m £ n. Это уравнение динамики (движения) элемента. Движения в широком смысле слова, когда под движением понимается любое изменение сигналов.

Дифференциальное уравнение может быть:

- линейное;

- нелинейное.

Линейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф линейна по отношению ко всем ее аргументам, т.е. к y(t), y¢(t),… y⁽ⁿ⁾(t); x(t),…x^(m)(t), t.

Нелинейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф содержит произведения, частные, степени и т.д. переменных y(t), x(t) и их производных. Например, 0.

В функцию Ф (дифференциальное уравнение) входят также величины, называемые параметрами. Они связывают между собой аргументы (y(t), y¢(t),… y⁽ⁿ⁾(t); x(t),…x^(m)(t), t) и характеризуют свойства элемента с количественной стороны. Например, параметрами являются масса тела, активное сопротивление, индуктивность и емкость проводника и т.д.

Большинство реальных элементов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, что значительно усложняет последующий анализ САУ. Поэтому стремятся перейти от нелинейных к линейным уравнениям вида:

(3.2)

Для всех реальных элементов выполняется условие m £ n. Коэффициенты a₀, a₁…a_n и b₀, b₁…b_m в уравнении называются параметрами. Иногда параметры изменяются во времени, тогда элемент называют нестационарным или с переменными параметрами. Однако в дальнейших рассуждениях будем рассматривать только элементы с постоянными параметрами.

Если при составлении линейного дифференциального уравнения осуществлялась линеаризация статической характеристики элемента, то оно справедливо лишь для окрестности точки линеаризации и может записываться в отклонениях переменных. Однако, с целью упрощения записи, отклонения переменных в линеаризованном уравнении будем обозначать теми же символами, что и в исходном нелинейном уравнении, но без символа D.

Важнейшим практическим достоинством линейного уравнения является возможность применения принципа наложения, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на элемент нескольких входных сигналов x_i(t), равно сумме изменений выходных величин y_i(t), вызываемых каждым сигналом x_i(t) в отдельности.

Для упрощения записи линейных уравнений операцию дифференцирования заменяют символом р (оператором дифференцирования), а операцию интегрирования – символом . Получим операторную форму записи дифференциального уравнения:

, (3.3)

запись которого можно упростить и представить в следующем виде: . (3.4)

· Временные характеристики.

Дифференциальное уравнение не дает наглядного представления о динамических свойствах элемента, но такое представление дает функция y(t), т.е. решение этого уравнения. Однако одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, зависящих от начальных условий и характера входного воздействия x(t), что неудобно при сопоставлении динамических свойств различных элементов. Поэтому было решено характеризовать эти свойства элемента только одним решением дифференциального уравнения, полученным при нулевых начальных условиях и одном из типовых воздействий: единичном ступенчатом, дельта-функции, гармоническом, линейном.

Под начальными условиями понимают значение выходной величины и всех ее производных в момент времени t = t₀ при условии, что до этого времени внешние воздействия отсутствовали.

Начальные условия называются нулевыми, если выполняется условие: . (3.5)

Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (рисунок 3.2а).

Ступенчатому воздействию соответствует функция:

0 при t< 0;

x(t) = (3.6)

L при t ³ 0.

При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина L = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием и обозначают 1 (t). Математическое выражение, описывающее единичное ступенчатое воздействие, имеет вид:

0 при t< 0;

1 (t) = (3.7)

1 при t ³ 0.

Ступенчатое воздействие чаще всего используют при исследованиях систем стабилизации параметров, так как эти воздействия наиболее близки к реальным входным (задающим и возмущающим) воздействиям систем стабилизации. Реакция звена на единичную ступенчатую функцию при нулевых начальных условиях называется переходной функцией, которую принято обозначать h(t). Графическое изображение переходной функции называют переходной характеристикой.

Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы (рисунок 3.2б), имеющий достаточно большую высоту и малую длительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) с площадью а₀. При математическом анализе САУ используют единичное импульсное воздействие описываемое дельта-функцией Дирака:

0 при t< 0;

d (t) = (3.8)

¥ при t> 0, причем

Последние два выражения позволяют рассматривать дельта-функцию, как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь. Дельта-функцию можно определить также как производную единичного ступенчатого воздействия: Нормальная реакция звена на импульсную функцию называется импульсной переходной функцией или весовой функцией (функцией веса), которую принято обозначать v(t). Графическое изображение переходной функции называют импульсной переходной характеристикой.

Гармоническое воздействие – сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией (рисунок 3.2в): x(t) = x_m sinw t, (-¥ < t < ¥), (3.9)

где x_m – амплитуда сигнала; w = 2p / Т – круговая частота; Т – период сигнала. Гармонический сигнал, начинающий действовать в момент времени t = 0, описывают при помощи единичной ступенчатой функции:

x(t) = 1 (t) x_m sinw t, (0 £ t < ¥). (3.10)

Линейное воздействие – воздействие, описываемое функцией:

x(t) = 1 (t) а₁ t, (0 £ t < ¥), (рисунок 3.2г). Коэффициент а₁ характеризует скорость нарастания воздействия x(t).

· Передаточная функция.

Наиболее распространенным методом описания и анализа САУ является операционный метод (метод операционного исчисления), в основе которого лежит прямое интегральное преобразование Лапласа для непрерывных функций: F(s) = Z { f(t) } = f(t) e^-pt dt. (3.11)

Это преобразование устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t и функцией комплексного переменного s = s + jw. Функцию f(t), входящую в интеграл Лапласа, называют оригиналом, а результат интегрирования – функцию F(s) – изображением функции f(t) по Лапласу. Преобразование выполнимо лишь для функций, которые равны нулю при t< 0. Формально это условие в ТАУ обеспечивается умножением функции f(t) на единичную ступенчатую функцию 1 (t) или выбором начала отсчета времени с момента, до которого f(t) = 0.

Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях являются:

Z { f¢(t) } = sF(s); Z { f (t)dt } = F(s) /s. (3.12)

Операционный метод в ТАУ получил широкое распространение, так как с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.

Применяя прямое преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, получим алгебраическое уравнение: D(s)Y(s) = K(s)X(s), (3.13)

где D(s) = a₀ sⁿ + a₁ s^n-1 +…+ a_n - собственный оператор (характеристический полином (многочлен)),

K(s) = b₀ s^m + b₁ s^m-1 +…+ b_m - входной оператор.

Дата добавления: 2015-04-29