Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)




Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты: (3.16)

АЧХпоказывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты.

Фазовая частотная характеристика ФЧХ зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах: j(w) = j2(w) - j1(w), (3.17)

где j1(w) -фаза входного сигнала; j2(w) - фаза выходного сигнала.


Амплитудную и фазовую характеристики можно объединить в одну общую характеристику – амплитудно-фазовую характеристику (АФХ). АФХ представляет собой функцию комплексного переменного jw:

W(jw) = A(w) e jj (w) (показательная форма), (3.18)

где A(w) – модуль функции; j (w) – аргумент функции.

Каждому фиксированному значению частоты wi соответствует комплексное число W(jwi ), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину A(wi) и угол поворота j (wi ). Отрицательные значения j(w), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси. При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jw) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно изменяется длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.

Проекции вектора W(jw) на действительную и мнимую оси называют соответственно вещественной (действительной) и мнимой частотными характеристиками (составляющими частотной передаточной функции) и обозначают Re(w), Jm(w) соответственно. Это позволяет записать АФХ в алгебраическойформе: W(jw) = Re(w) +j Jm(w). (3.19)

АФХ, как и любую комплексную величину, можно также представить в тригонометрической форме:

W(jw) = A(w)cosj (w) + j A(w)sinj (w). (3.20)

Связь между различными частотными характеристиками следующая:

A(w) = ç W(jw) ç = (3.21)

j (w) = arg W(jw) = . (3.22)

Минимально-фазовые элементы дают минимальный фазовый сдвиг j (w) по сравнению с любыми другими элементами, имеющими такую же амплитудную характеристику A(w), но у которой действительная часть хотя бы одного полюса или нуля положительна. Минимально-фазовые элементы обладают важным для практических расчетов свойством: их частотная передаточная функция полностью определяется одной из трех составляющих - A(w), Re(w) и Jm(w). Это существенно упрощает задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем.

При практических расчетах САУ (без применения электронных вычислительных машин) удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил. Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют частотами излома и обозначают wи. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу измерения по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду.

Декада – интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз (интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты wi и его десятикратным значением 10wi).

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ): L(w) = 20 lg A(w), (3.23)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – беллах (Б) или децибеллах (дБ).

Белл – единица измерения мощностей двух сигналов.

Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б, (lg 10 = 1). Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то при применении этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте A(w) = 100, то это означает, что мощности входного и выходного сигналов отличаются в 1002 раз, т.е. на 2 lg 100 = 4 Б или на 40 дБ, соответственно и L(w)=20 lg A(w)= = 40 дБ.

Наклон отрезков ЛАЧХ определяют в децибелах на декаду (дБ/дек), они имеют положительный и отрицательный наклон, кратный 20 дБ/дек. Масштаб построения ЛАЧХ – логарифмический.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс в любом месте (т.к. нуль оси абсцисс лежит слева в минус бесконечности: lg 0 = -¥), таким образом, чтобы охватывался необходимый диапазон частот.

Логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ) строят в системе координат с такой же осью абсцисс, что и у ЛАЧХ, а по оси ординат в линейном масштабе угол j(w) в градусах или в радианах. ЛФЧХ обычно строят под ЛАЧХ так, чтобы можно было сопоставить изменение фазы с изменением амплитуды при одинаковых частотах. Масштаб построения ЛФЧХ – полулогарифмический.

На рисунке 3.4 показаны примеры построения частотных характеристик.


 

Рисунок 3.4 - Частотные характеристики:

а – амплитудная; б – фазовая; в – амплитудно-фазовая; г – логарифмическая АЧХ.

4. Функциональные элементы, используемые в САУ, могут иметь самые различные конструктивное выполнение и принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых звеньев. Каждому типовому звену соответствует определенное математическое соотношение между входной и выходной величинами. Если это соотношение является элементарным (например, дифференцирование, умножение на постоянный коэффициент), то и звено называется элементарным.

Звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название типовых динамических звеньев.

Типовые динамические звенья являются основными составными частями схем САУ, поэтому знание их характеристик существенно облегчает анализ таких систем.

Классификацию типовых динамических звеньев удобно осуществить, рассматривая различные частные формы дифференциального уравнения:

. (3.24)

Значения коэффициентов этого уравнения и названия для наиболее часто применяемых звеньев приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Значения коэффициентов уравнения (3.24).

Наименование звена a0 a1 a2 b0 b1 Примечание
  Безинерционное (пропорциональное)         k  
  Инерционное 1-го порядка (апериодическое)   T     k  
  Инерционное 2-го порядка (апериодическое) T1     k T1 ³ 2 T2
  Инерционное 2-го порядка (колебательное) T1     k T1 < 2 T2
  Идеальное интегрирующее         k  
  Идеальное дифференцирующее       k    
  Реальное дифференцирующее   T   k    

 

Передаточные и переходные функции для наиболее часто применяемых звеньев приведены в таблице 3.2.

К элементарным звеньям можно отнести также следующие звенья:

- консервативное звено с передаточной функцией:

; (3.25)

- интегрирующее звено с замедлением с передаточной функцией: ; (3.26)

- изодромное звено с передаточной функцией: ; (3.27)

- форсирующее звено первого порядка с передаточной функцией: ; (3.28)

-форсирующее звено 2-го порядка с передаточной функцией: при T1< 2T2. (3.29)

В случае, когда T1³ 2T2 данное звено не относится к разряду элементарных и может быть представлено следующей передаточной функцией: . (3.30)

 

Таблица 3.2 – Передаточные и переходные функции наиболее часто применяемых звеньев.

Наименование звена и описывающее его уравнение Передаточная функция Переходная функция
  Безынерционное (пропорциональное)    
  Инерционное 1-го порядка (апериодическое)    
  Инерционное 2-го порядка (апериодическое)   T1 ³ 2 T2 T1 ³ 2 T2 или или 1<< x< ¥   где ; .  

 

  Инерционное 2-го порядка (колебательное)   T1 < 2 T2   T1 < 2 T2 или x > 1     , где ; ; .  
  Идеальное интегрирующее        
  Идеальное дифференцирующее      

 

 

  Реальное дифференцирующее    
  Звено запаздывания  

 

Для получения частотных характеристик типового звена используются их передаточные функции. Рассмотрим частотные характеристики следующих звеньев:

- Безынерционное (пропорциональное) звено:

частотная передаточная функция:

; (3.31)

вещественная составляющая частотной передаточной функции:

; (3.32)

мнимая составляющая частотной передаточной функции: ; (3.33)

модуль частотной передаточной функции (АЧХ): ; (3.34)

аргумент частотной передаточной функции (ФЧХ): ; (3.35)

ЛАЧХ: , (3.36)

проходит параллельно оси абсцисс на расстоянии ;

ЛФЧХ совпадает с осью абсцисс.

- Инерционное 1-го порядка (апериодическое) звено:

частотная передаточная функция:

; (3.37)

вещественная составляющая частотной передаточной функции: ; (3.38)

мнимая составляющая частотной передаточной функции:

; (3.39)

модуль частотной передаточной функции (АЧХ): ; (3.40)

аргумент частотной передаточной функции (ФЧХ):

; (3.41)

ЛАЧХ: , (3.42)

 
 


причем: L (ω) = 20 lg k,при 0 < ωT<< 1,

L (ω) = 20 lg k – 20 lg ωT,при Тω >> 1, (3.43)

для построения ЛАЧХ необходимо найти частоту излома (частоту стыковки двух отрезков) согласно формуле:

; (3.44)

частота среза для апериодического звена находится по формуле:

(3.45)

ЛФЧХ: . (3.46)

- Инерционное 2-го порядка (апериодическое) звено:

частотная передаточная функция:

или ; (3.47)

модуль частотной передаточной функции (АЧХ):

или ; (3.48)

аргумент частотной передаточной функции (ФЧХ):

, при

, при ; (3.49)

для построения ЛАЧХ необходимо вычислить частоты излома по формуле (3.44) для постоянных времени Т1 и Т2 и величину 20 lg k. Результирующая ЛАЧХ звена: , (3.50)

где L1(w), L2 (w) – ЛАЧХ двух последовательно соединенных апериодических звеньев 1-го порядка;

ЛФЧХ отличается от ФЧХ только логарифмической шкалой оси частот.

- Инерционное 2-го порядка (колебательное) звено:

частотная передаточная функция:

; (3.51)

вещественная составляющая частотной передаточной функции:

; (3.52)

мнимая составляющая частотной передаточной функции:

; (3.53)

модуль частотной передаточной функции (АЧХ):

; (3.54)

аргумент частотной передаточной функции (ФЧХ):

; (3.55)

ЛАЧХ: ; (3.56)

ЛФЧХ отличается от ФЧХ только логарифмической шкалой оси частот.

- Идеальное интегрирующее звено:

частотная передаточная функция:

; (3.57)

вещественная составляющая частотной передаточной функции:

; (3.58)

мнимая составляющая частотной передаточной функции: ; (3.59)

модуль частотной передаточной функции (АЧХ): ; (3.60)

аргумент частотной передаточной функции (ФЧХ): ; (3.61)

ЛАЧХ: (3.62)

представляет собой прямую линию, которая пересекает ось абсцисс в точке (частота среза) и имеет наклон -20 дБ/дек;

ЛФЧХ не зависит от частоты и проходит параллельно оси абсцисс на расстоянии .

 

- Идеальное дифференцирующее звено:

частотная передаточная функция:

; (3.63)

вещественная составляющая частотной передаточной функции:

; (3.64)

мнимая составляющая частотной передаточной функции: ; (3.65)

модуль частотной передаточной функции (АЧХ): ; (3.66)

аргумент частотной передаточной функции (ФЧХ): ; (3.67)

ЛАЧХ: , (3.68)

представляет собой прямую линию, которая пересекает ось абсцисс при частоте среза дифференцирующего звена: (3.69)

и имеет наклон +20 дБ/дек;

ЛФЧХ: не зависит от частоты и проходит параллельно оси абсцисс на расстоянии .

- Реальное дифференцирующее звено (дифференцирующее звено с замедлением):

частотная передаточная функция:

; (3.70)

модуль частотной передаточной функции (АЧХ): ; (3.71)

аргумент частотной передаточной функции (ФЧХ): ; (3.72)

ЛАЧХ: , (3.73)

представляет собой ломанную кривую, состоящую из двух отрезков, первый отрезок пересекает ось абсцисс при частоте среза (3.45) и имеет наклон +20 дБ/дек, при частоте излома (3.44) ЛАЧХ становиться параллельной оси абсцисс и располагается на высоте ;

ЛФЧХ отличается от ФЧХ только логарифмической шкалой оси частот.

- Звено запаздывания:

частотная передаточная функция:

; (3.74)

вещественная составляющая частотной передаточной функции:

; (3.75)

мнимая составляющая частотной передаточной функции:

; (3.76)

модуль частотной передаточной функции (АЧХ): ; (3.77)

аргумент частотной передаточной функции (ФЧХ): ; (3.78)

ЛАЧХ: ; (3.79)

ЛФЧХ отличается от ФЧХ только логарифмической шкалой оси частот.

- Консервативное звено:

частотная передаточная функция:

, (3.80)

график этой функции при изменении частоты w от нуля до плюс бесконечности имеет вид двух полупрямых: при изменении частоты w от 0 до резонансной частоты первая полупрямая начинается на вещественной положительной полуоси в точке и идет в бесконечность в положительном направлении; вторая полупрямая начинается в минус бесконечности при и идет по отрицательной вещественной полуоси в начало координат при ;

вещественная составляющая частотной передаточной функции:

; (3.81)

мнимая составляющая частотной передаточной функции: ; (3.82)

АЧХ имеет разрыв на частоте имеет разрыв, соответствующий бесконечному возрастанию амплитуды;

ФЧХ при частоте скачком изменяет фазу от 0 до -p;

ЛАЧХ имеет разрыв на частоте излома ;




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-29; Просмотров: 1827; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.108 сек.