Алгебраические критерии устойчивости

Критерий Рауса (1875-1877г).

Для характеристического уравнения вида:

, (6.7)

необходимо заполнить таблицу Рауса, содержащую (n+ 1 ) строк, где n – степень характеристического уравнения. В первой строке таблицы записываются коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами в порядке их возрастания, начиная с a₀. Во второй строке таблицы записываются коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами в порядке их возрастания, начиная с a₁.

a0	a2	a4	a6	…
a1	a3	a5	a7	…
…	…	…	…	…

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют по формуле:

, (6.8)

где , k – номер столбца таблицы, i – номер строки таблицы.

После заполнения таблицы Рауса можно судить об устойчивости САУ. По критерию Раса: для того, чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели знак одинаковый со знаком a₀ и при a₀ > 0 были бы положительны. Если хотя бы один из коэффициентов первого столбца таблицы Рауса имеет знак «-», то САУ неустойчива, по количеству смен знака у коэффициентов первого столбца таблицы можно судить о количестве «правых» корней характеристического уравнения.

Критерий Гурвица (1895г.)

Из коэффициентов характеристического уравнения (6.7) составляется главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали определителя сверху вниз и слева направо вписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов коэффициентов характеристического уравнения. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами характеристического уравнения с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляются нули.

а1	а3	а5	а7	…	0
а0	а2	а4	а6	…	0
0	а1	а3	а5	…	0
0	а0	а2	а4	…	0
…	…	…	…	…	…
0	0	0	0	…	an

Очеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определитель Гурвица более низкого порядка:

D1=	а1	;
	а1	а3
D2=			;
	а0	а2
	а1	а3	а5
D3=	а0	а2	а4	;
		а1	а3
………………………

Номер определителя Гурвица определяется индексом коэффициента по главной диагонали, для которого составляется определитель. После составления всех определителей Гурвица необходимо найти их значение, т.к. согласно критерию Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знак одинаковый со знаком a₀ и при a₀ > 0 были бы положительны. Легко убедиться в том, что D_n= а_n D_n-1, т.к. в последнем столбце главного определителя лишь один из коэффициентов отличен от нуля (а_n ¹ 0), поэтому нет необходимости вычислять значение D_n, т.к. условие D_n > 0 выполняется при условии при а_n > 0 и D_n-1 > 0. В случае, когда D_n = 0 система находится на границе устойчивости, причем при а_n = 0 система находится на апериодической границе устойчивости, а при D_n-1 = 0 – на колебательной границе устойчивости.

Для САУ высокого порядка порядок определителей Гурвица возрастает и вычисление их значений становится трудоемким, поэтому критерий Гурвица применяется для определения устойчивости систем не выше четвертого-пятого порядка.

7. Частотные критерии устойчивости.

Дата добавления: 2015-04-29