Статистическая линеаризация нелинейных элементов

Линеаризация нелинейных элементов. При статистической линеаризации входные и выходные сигналы нелинейного элемен­та как стационарные случайные процессы рассматриваются в виде сумм соответствующих математических ожиданий и цент­рированных составляющих, причем средние квадраты последних равны дисперсиям.

Нелинейный элемент в целях упрощения расчета заменяется двумя квазилинейными элементами (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 – Замена нелинейного элемента двумя квазилинейными элементами

Элементы этой эквивалентной схемы называются квазилиней­ными, так как их коэффициенты статистической линеаризации зависят от статистических характеристик т_х и D_х входного сиг­нала нелинейного элемента. Для всех типовых нелинейностей эти функции рассчитаны для стационарного процесса с нормальным законом распределения и приводятся в справочной литературе. Обычно даются два варианта этих функ­ций, рассчитанных по различным методикам:

1. Исходя из равенства математических ожиданий выходных сигналов реального нелинейного элемента и его эквивалентной модели, а также из равенства соответствующих дисперсий.

2. Исходя из минимума среднего квадрата разности между выходными величинами реального нелинейного элемента и его эквивалентной модели.

Расчет статистически линеаризованной нелинейной системы. Предполагается замена нелинейного элемента его эквивален­тной моделью, в результате чего известная структурная схема одноконтурной САР превращается в две взаимосвя­занные и сходные по виду квазилинейные структурные схемы. Первая из них отражает преобразование математических ожида­ний, а вторая - центрированных составляющих (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 – Превращение структурной схемы одноконтурной САУ в две квазилинейные структурные схемы

Для каждой из этих схем записывают по одному уравнению и решают их совместно относительно математического ожидания т_х и дисперсии D_x. Для первой схемы можно записать уравнение по теореме о предельном значении функции, а для второй - уравнение для дисперсии, как и для линейных САР.

Контрольные вопросы:

1. Что называется случайным событием?

2. Что называется случайной величиной?

3. Какими статистическими характеристиками характеризуются случайные величины?

4. Что называется случайным процессом?

5. Какой случайный процесс называется стационарным случайным процессом?

6. Какой случайный процесс называется эргодическим случайным процессом?

7. что называется спектральной плотностью?

8. Каким образом выполняется статистическая линеаризация нелинейной системы?

Тема 9. Задачи оптимального управления

Цель лекции: изучить понятие экстремума функций, методы решения задач оптимального управления.

План лекции:

1. Особенности и общая характеристика оптимальных систем.

2. Постановка задачи оптимального автоматического управления.

1. Оптимальной называется наилучшая в некотором технико-эко­номическом смысле система. Основной ее особенностью являет­ся наличие двух целей управления, которые эти системы реша­ют автоматически.

Основная цель управления - поддержание управляемой ве­личины на заданном значении и устранение возникающих откло­нений этой величины. Цель оптимизации - обеспечение наилучшего качества уп­равления, определяемое по достижению экстремума некоторого технико-экономического показателя, называемого критерием оптимальности (КО).

Оптимальные системы разделяют в зависимости от вида КО на два класса: оптимальные в статике системы и оптимальные в ди­намике системы.

У оптимальных в статике систем КО является функцией пара­метров или управляющих воздействий. Этот критерий имеет экст­ремум в статическом режиме работы системы, причем статическая характеристика, выражающая зависимость КО от управляющих воздействий оптимизации, может непредвиденным образом сме­щаться. Оптимальная система должна этот экстремум находить и поддерживать. Такие системы приме­нимы, если возмущения, смещающие указанную характеристи­ку, изменяются сравнительно медленно по сравнению с длитель­ностью переходных процессов в системе. Тогда система будет успевать отслеживать экстремум практически в статическом ре­жиме. Такие условия обычно выполняются на верхней ступени иерархии.

Оптимальные в динамике системы отличаются тем, что их критерии оптимальности представляет собой функционал т функцию от функций времени. Это значит, что, задав функции времени, от которых данный функционал зависит, получим чис­ловое значение функционала. Эти системы могут применяться при сравнительно быстро меняющихся внешних воздействиях не выходящих, однако, за допустимые пределы. Поэтому они 'ис­пользуются на нижних уровнях управления.

Основная цель управления для оптимальных в динамике систем обычно формули­руется как задача перевода изображающей точки из некоторого начального состояния х(О) в некоторое конечное х(Т) состояние. Начальное состояние принято называть левым концом оптималь­ной траектории, а конечное - правым. Вместе взятые эти данные и образуют краевые условия. Задачи управления могут отличать­ся видом краевых условий.

Ограничениями называются дополнительные условия, которым должны удовлетворять управляющие воздействия и управляемые величины. Виды ограничений:

- безусловные (естественные) ограничения - выполняются в силу физических законов для процессов в объекте управления, показывают, что некоторые величины и их функции не могут выйти за границы, определяемые равенствами или неравенствами;

- условные (искусственные) ограничения - выражают такие требования к величинам или функциям от них, согласно которым они не должны превосходить границ, определенных равенствами или неравенствами по условиям долговечной и безопасной эксплуатации объектов.

Ограничения, независимо от их вида, выражаемые равенствами, называют классическими, а неравенствами – неклассическими.

2. При заданных ограничениях на управляющие воздействия, управляемые величины, а также заданных уравнении объекта управления, критерии оптимальности и краевых условиях необходимо определить оптимальное управление и оптимальную траекторию или оптимальный алгоритм управления, обеспечивающие экстремум заданного критерия оптимальности. Решение первой задачи приводит к разомкнутой САУ, решение второй - к замкнутой САУ.

Для решения задач оптимального управления применяются следующие методы оптимизации: Эйлера-Лагранжа, динамического программирования Р. Бельмана, принцип максимума Л.С. Понтягина.

В задаче на безусловный экстремум функционала отсутствуют всякие ограничения, это является недостатком, т.к. отсутствие ограничений обычно лишает задачу практического смысла.

В задаче на условный экстремум (метод Эйлера-Лагранжа) производится формирование нового функционала, который содержит неизвестные функции, называемые множителями Лагранжа. Благодаря этому эта задача сводится к задаче на безусловный экстремум функционала. При этом уравнения Эйлера должны быть составлены как для искомых экстремалей, так и для множителей Лагранжа.

В изопериметрической задаче наряду с ограничениями, принятыми для задачи на условный экстремум, имеется определенный интервал по времени.

В основу метода динамического программирования положен принцип оптимальности. Согласно ему любой конечный отрезок оптимальной траектории (от произвольной промежуточной точ­ки до одной и той же конечной точки процесс а) является сам по себе оптимальной траекторией для своих краевых условий.

Принцип максимума - метод расчета оптимальных процессов и систем, который выражает необходимое условие оптимальности.

Контрольные вопросы:

1. Какая система называется оптимальной?

2. Что является основной целью управления?

3. Что является целью оптимизации?

4. Какие Вы знаете виды оптимальных систем?

5. Что называется ограничениями?

6. Какими бывают ограничения?

7. Способы постановки и решения задач оптимального автоматического управления.

Тема 10. Современные тенденции развития систем управления

Цель лекции: изучить особенности развития современных САУ.

План лекции:

1. Основные проблемы современной теории автоматического управления.

2. Современные САУ.

1. В классической теории автоматического управления (ТАУ) за­дачи оптимизации и адаптации ставились в основном примени­тельно к управлению «в малом». Это означает, что оптимальная программа изменения режимов технологического процесса, вы­раженная в задающих воздействиях регуляторов, считалась из­вестной, определенной на стадии проектирования. Задача управ­ления заключалась в выполнении этой программы, стабилизации программного движения. При этом допускались лишь малые от­клонения от заданного движения, и переходные процессы «в ма­лом» оптимизировались по тем или иным критериям.

В конце 50-х - начале 60-х гг. ХХ столетия появились работы Л.С. Понтрягина (принцип максимума), Р. Беллмана (динамичес­кое программирование), Р. Калмана (оптимальная фильтрация, управляемость и наблюдаемость), которые заложили основы со­временной теории автоматического управления, общепринятого определения понятия которой пока не существует. Некоторым характерным признаком современной теории автоматического управления считают также описание процессов в пространстве состояний, развитие теории адаптивного управления, т. е. управ­ления при неполной априорной информации.

Наиболее точно современную теорию автоматического управ­ления можно отделить от классической ТАУ, учитывая требования научно-технического прогресса, современной и перспектив­ной автоматизации. Важнейшим из таких требований является оптимальное использование всех располагаемых ресурсов (энер­гетических, информационных, вычислительных) для достижения главной обобщенной конечной цели при соблюдении ограниче­ний. Например, запуск или выход на новый режим работы маши­ны, агрегата, станции с минимальными затратами, достижение заданной в 3-мерном пространстве навигационной точки в задан­ное время с заданным курсом при минимальном расходе топли­ва. В связи с этим оптимизация «в большом», осуществляемая в реальном времени в процессе управления, становится централь­ной проблемой современной теории автоматического управления. Эта фундаментальная проблема порождает ряд крупных проблем, задач и методов их решения. Прежде всего, указанная оптимиза­ция требует полного использования имеющейся априорной ин­формации в виде математической модели управляемого процес­са или объекта. Использование таких моделей не только на стадии проектирования, но и в процессе функционирования систем, яв­ляется одной из характерных черт современной теории автомати­ческого управления.

Оптимальное управление возможно лишь при оптимальной обработке информации. Поэтому теория оптимального (и субоп­тимального) оценивания (фильтрации) динамических процессов является составной частью современной теории автоматического управления. Особо важной является параметрическая идентифи­кация (оценивание параметров и характеристик по эксперимен­тальным данным), выполняемая в реальном масштабе времени в эксплуатационных режимах ОУ.

Центральной частью современной теории автоматического управления является, собственно, теория оптимального или суб­оптимального управления «в большом» детерминированными или стохастическими нелинейными процессами. Подлинная оп­тимизация автоматического управления в условиях неполной априорной информации возможна только в процесс е функциони­рования системы в текущей обстановке и возникшей ситуации. Следовательно, современная теория автоматического управления должна рассматривать адаптивное оптимальное (субоптимальное) управление «в большом». Кроме того, современная теория авто­матического управления должна рассматривать методы резерви­рования и структурного обеспечения надежности (особенно прин­ципы автоматической реконфигурации системы при отказах).

2. Адаптивная оптимальная САУ на базе самоорганизующегося оптимального регулятора с экстраполяцией. Функциональная схема такой САУ содержит следующие элементы (рисунок 10.1):

- блок памяти (1);

- блок оценивания (2);

- исполнительные блоки (3, 7);

- экстраполятор нулевого порядка (ЦАП) (4);

- обобщенный объект регулирования (5);

- блок автоматического поиска порядка математической модели (ММ) объекта (6).

Рисунок 10.1 - Функциональная схема адаптивной оптимальной САУ на базе самоорганизующегося оптимального регулятора с экстраполяцией

Попринципу функционирования эта САУ относится к систе­мам с дискретным временем циклического типа. Входной вели­чиной самоорганизующегося оптимального регулятора с экстра­поляцией служит сигнал рассогласования x(t) между задающим воздействием g(t) и выходной величиной y(t) объекта. Этот сиг­нал измеряется на каждом шаге. Данная САУ впервые позволяет реализовать адаптивное управление при неизвестной априори структуре ОР благодаря высокому уровню структурной и параметрической адаптации, которая обеспечивается, прежде всего, за счет применения наблю­дателей в виде фильтра Калмана-Бьюси, устройств экстраполя­ции и поиска порядка математической модели.

Синергетические оптимальные САУ. Название «синергетика» произошло от греческого «синергос» ­«вместе действующий» и обозначает общенаучное направление, изучающее совместные действия нелинейных динамических сис­тем различной природы. Базовые положения синергетической теории заключаются в следующем:

- В синергетических системах в процессе самоорганизации происходит уменьшение числа степеней свободы, т. е. управляе­мая декомпозиция фазового пространства, путем выделения лишь нескольких координат, к которым подстраиваются остальные. Именно эти так называемые макропеременные и определяют основные особенности динамики системы, открывая возможность построения упрощенных агрегированных моделей.

- Следствием этого процесса самоорганизации является обра­зование в фазовом пространстве так называемых аттракторов ­инвариантных многообразий, к которым притягиваются траектории системы.

- Каждый аттрактор имеет свою область притяжения в фазо­вом пространстве, отделенную границей от других областей. При чем направленная самоорганизация обеспечивает выход на жела­емый аттрактор за счет соответствующего выбора алгоритма из­менения управляющих воздействий как функций координат си­стемы.

Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов состоит из следующих этапов:

1). Постановка задачи. Объект управления описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Требуется найти закон управления,который обеспечива­ет перевод изображающей точки из произвольного начального состояния сначала в окрестность инвариантного многообразия, а затем в дальнейшее устойчивое асимптотичес­кое движение вдоль этого многообразия в желаемое состояние, в частности, в начало координат.

2). Выбор агрегированных макропеременных, т.е. функций. Эти функции могут строиться различными способа­ми, и их поиск является главной задачей проектирования. Этот поиск пока в большей мере носит эвристический характер.

3). Нахождение закона оптимального управления производит­ся без решения оптимизационной задачи. Изменение макропере­мецной \j1(t) считается оптимальным, если минимизируется так называемый сопровождающий оптимизирующий функционал, имеющий, в частности, вид улучшенной квадратичной оценки. Минимум такому функционалу доставляет асимп­тотически стремящаяся к нулю экспонента, являющаяся общим ре­шением так называемого функционального уравнения. Затем определяют производную от макропеременной по време­ни, как от сложной функции в силу уравнений объекта. Эту про­изводную и саму макропеременную подставляют в функциональ­ное уравнение и находят отсюда искомый закон оптимального управления. Сопровождающий оптимизирующий функционал с учетоми позволяет также найти критерий качества, по ко­торому оптимизируется синтезируемая система. Он содержит высокие степени координат, что существенно улучшает важные показатели качества в отношении быстродействия, перерегулиро­вания, демпфирования колебаний и др. Особенно эти достоинства проявляются в областях значительных отклонений изображаю­щей точки от заданного состояния.

Интеллектуальные системы автоматического управления. Создание систем, ориентируемых для работы в условиях не­полноты или нечеткости исходной информации, неопределенно­сти внешних возмущений и среды функционирования, требует привлечения нетрадиционных подходов к управлению с исполь­зованием методов и технологий искусственного интеллекта. Та­кие системы, названные интеллектуальными системами управле­ния, образуют совершенно новый класс. Это понятие возникло в начале 80-х г.г. ХХ в. В качестве базовых выделяются 4 интеллектуальные технологии:

- технология экспертных систем, ориентированная на обра­ботку знаний с явной формой представления в виде продук­ционных правил;

- технология нечеткой логики, ориентированная на обработ­ку логико-лингвистических моделей представления знаний с помощью продукционных правил и размытых множеств;

- технология нейросетевых структур с неявной формой пред­ставления знаний, скрытых в архитектуре сети, параметрах нейронов и связей;

- технология ассоциативной памяти, ориентированная на об­работку знаний с неявной формой представления в виде ги­перповерхности в многомерном пространстве признаков.

Отсюда, в частности, видно, что основной отличительной чер­той интеллектуальных систем автоматического управления явля­ется возможность системной обработки знаний, под которыми понимается проверенный практикой результат познания деятель­ности, верное ее отражение в мышлении человека. Знания позво­ляют отнести сложившуюся ситуацию к некоторому классу, для которого требуемое управление считается известным согласно теории ситуационного управления Д.А. Поспелова и его научной школы. Одна из передовых тенденций в области обработки зна­ний состоит в интеграции различных интеллектуальных техно­логий для сочетания их преимуществ.

Организация интеллектуальных систем автоматического управления производится по следующим принципам:

- информационного взаимодействия интел­лектуальной системы автоматического управления с реаль­ным внешним миром при использовании информационных каналов связи;

- наличие прогнозов изменения внешнего мира и собственно­го поведения системы;

- многоуровневый характер иерархической структуры в соот­ветствии с правилом: повышение интеллектуальности и сни­жение требований к точности по мере повышения ранга иерархии;

- сохранение функционирования при разрыве связей от выс­ших уровней иерархии;

- повышение интеллектуальности и совершенствование соб­ственного поведения.

Экспертные информационные системы автоматического управления. Эти системы могут строиться по различным схемам, извест­ным для адаптивных САУ. Наиболее эффективной в этом случае является схема (рисунок 10.2), использующая принцип параметрической ООС,второй метод Ля­пунова и эталонную модель. В качестве регулятора в основном кон­туре обеих САУ обычно используется линейный ПИД-регулятор.

Рисунок 10.2 – Наиболее эффективная схема экспертной информационной САУ

В общем случае под экспертной системой понимается интел­лектуальная программа, способная делать логические выводы на основании знаний в конкретной предметной области и обеспечи­вающая решение определенных задач. Работа экспертного регулятора (рисунок 10.3) условно может быть разбита на 3 этапа в соответствии с архитектурой, показанной на рисунке 10.4.

На первом этапе решаются задачи проектирования САУ:

- выбор структуры модели ОУ;

- определение параметров ОУ нерекуррентным методом иден­тификации;

-выбор закона управления;

- предварительная настройка параметров закона управления;

- окончательный синтез параметров закона управления по за­данному пользователем критерию качества, в результате чего в пространстве качества определяется «рабочая точка».

Рисунок 10.3 – Схема работы экспертного регулятора

Рисунок 10.4 – Архитектура работы экспертного регулятора

На втором этапе решается задача обучения при изменении па­раметров в окрестности «рабочей точки». Здесь формируются те­кущие эмпирические знания о динамических свойствах САУ в виде качественной зависимости между изменением параметров модели объекта и регулятора, с одной стороны, и параметрами критерия качества, с другой.

На третьем этапе происходит непрерывное слежение за проте­кающими процессами, и решаются следующие задачи активной самодиагно­стики:

- обработка измерений с датчиков;

- оценка измерений параметров САУ как аналитическими методами, так и на основе эмпирических знаний об ОУ;

- коррекция параметров регулятора и ее оценка;

- изменение закона управления (в случае необходимости).

Основной проблемой при создании любой экспертной системы является разработка базы знаний в достаточно узкой и конкрет­ной предметной области, которая может быть решена в 2 этапа:

1) формализация и структурирование экспертных знаний о предметной области (ТАУ);

2) формализация представлений этих знаний с помощью моде­лей искусственного интеллекта.

База алгоритмов содержит правила идентификации, позволя­ющие осуществить получение или уточнение по эксперименталь­ным данным математической модели системы, выраженной по­средством того или иного математического аппарата.

Нейросетевые системы и регуляторы. Высокое быстродействие за счет распараллеливания входной информации в сочетании с обучаемостью нейронных сетей подобно своим биологическим прототипам делает эту технологию весьма привлекательной для создания самообучающихся оптимальных автоматических устройств управления с идентификацией объекта управления. Наиболее распространенной структурой, которая вобрала в себя все основные свойства, присущие нейронным сетям, является многослойная нейронная сеть прямого распространения, которая характеризуется отсутствием внутренней динамики (т.е. безынерционностью) и может реализовать любое однозначное нелинейное преобразование входного вектора в желаемый выходной, точность которого определяется числом нейронов скрытых в слоях. Настройка многослойной нейронной сети прямого распространения называется процедурой обучения. Высокие требования по точности определяют необходимость обучения сети на большом количестве примеров. Группа примеров, по которой производится обучение, называется страницей примеров.

Системы автоматического управления с ассоциативной памятью. Ассоциация - явление, когда одно представление вызывает по сходству, смежности или противоположности другое. Ассоциативная память - это устройство хранения информа­ции, которое позволяет восстанавливать и выдавать информацию на основе ассоциации, т.е. по заданному сочетанию признаков, свойственных искомой информации. Эта информация имеет при­ближенный характер.

Ассоциативная память может быть пирамидальной, матрич­ной и самоорганизующейся.

Пирамидальная (иерархическая) ассоциативная память прово­дит классификацию входного вектора по некоторому признаку, относя его к одной из классификационных групп. Затем в этой группе вектор классифицируется по другому признаку, и этот процесс повторяется до полного совпадения всех признаков с од­ной из классификационных групп.

Матричная ассоциативная память - это частный случай пира­мидальной ассоциативной памяти, когда имеется только один уровень классификации.

Память на самоорганизующихся структурах реализует хране­ние информации в виде аттракторов, например, в осцилляторных нейросетях. В зависимости от входного вектора система выходит на один из них. Ассоциативная память этого вида динамическая, т.е. информация в ней сохраняется в течение некоторого времени.

Обучение памяти - это процесс формирования содержимого памяти в зависимости от входной информации. Управление этим процессом состоит в выработке сигнала разрешения или запреще­ния записи в память. Содержимое памяти может меняться всякий раз при поступлении на ее вход любого вектора или при по­ступлении на вход только тех векторов, на которые ранее память никогда не обучалась.

В системах управления ассоциативная память обучается на входной вектор, состоящий из двух частей. Первая часть содержит информацию с выходов регулятора и датчиков обратных связей, а вторая - параметры регулятора или значения управляющих воз­действий, обеспечивающих требуемые критерии качества. В ре­жиме управления по первой части вектора восстанавливается вто­рая. Таким образом, осуществляются оперативная идентификация и адаптация.

Интеллектуальные системы с ассоциативной памятью можно условно разделить на системы первого и второго рода в зависимо­сти от того, работают ли они в условиях предсказуемой или не­предсказуемой неопределенности соответственно. Предсказуемая неопределенность имеет место в том случае, когда известна апри­орная информация о законе изменения управляемых координат в функции времени.

Функциональная схема САУ с ассоциативной памятью перво­го рода показана на рисунок 10.5.

Рисунок 10.5 – САУ с ассоциативной памятью перво­го рода

В САУ с ассоциативной памятью второго рода (рисунок 10.6) рецепторная система, ассоциативная память и эффекторная система входят непосредственно в основной контур управления в качестве регулятора.

Рисунок 10.6 - САУ с ассоциативной памятью второго рода

В такой системе формирование знаний в ассоциативной памя­ти на этапе обучения осуществляется оператором. Ассоциативная память записывает набор входных векторов сигналов от датчиков и соответствующих им управляющих воздействий, выполненных оператором. После обучения ассоциативной памяти на всевоз­можные ситуации она заменяет человека. По входному вектору, содержащему информацию о состоянии ОУ и входном воздей­ствии, ассоциативная память формирует управляющее воздей­ствие на ОУ, обеспечивая адаптивную подстройку под изменение, как структуры, так и параметров ОУ. Задача косвенного управ­ления требует обучения на наиболее полный набор возможных состояний ОУ. При выполнении критерия качества соответству­ющий блок, классифицируя состояние объекта, дает разрешение на запись информации в ассоциативную память при обучении.

Преимущества САУ с ассоциативной памятью состоят в следующем:

- ассоциативная память аккумулирует не все возможные ре­шения по управлению ОУ, а только основные, что сокраща­ет необходимый объем памяти;

- ассоциативная память позволяет осуществить доступ к дан­ным с высокой скоростью;

- САУ с ассоциативной памятью достаточно проводить клас­сификацию состояния системы на качественном уровне, что­бы сформировать управления, соответствующие текущему состоянию системы и заданному критерию качества управ­ления в реальном времени, даже для ОУ с быстро меняющи­мися параметрами и структурой.

На базе всех вышеперечисленных систем производится разработка роботизированных систем и гибких производственных систем.

Контрольные вопросы:

1. Чем отличается классическая теория автоматического управления от современной теории автоматического управления?

2. Какие особенности имеет адаптивная оптимальная САУ на базе самоорганизующегося оптимального регулятора с экстраполяцией?

3. Какие особенности имеют синергетические оптимальные САУ?

4. Какие особенности имеют интеллектуальные системы автоматического управления?

5. Какие особенности имеют экспертные информационные системы автоматического управления?

6. Какие особенности имеют нейросетевые системы и регуляторы?

7. Какие особенности имеют системы автоматического управления с ассоциативной памятью?

Разработал ст. преподаватель С. Чумаченко

Дата добавления: 2015-04-29