Критерий Найквиста (1932 г.)

Позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) разомкнутой САУ. Основой для определения устойчивости является следующее выражение:

, (6.11)

где Ф(s) – передаточная функция замкнутой САУ; W_раз(s) – передаточная функция разомкнутой САУ. Зная, что и подставив это выражение в уравнение передаточной функции замкнутой САУ, получим:

, (6.12)

то есть: . (6.13)

Числитель этого выражения представляет собой характеристический полином замкнутой САУ. Степень полиномов R(s) и Q(s) одинакова и равна n.

При определении устойчивости замкнутой САУ могут возникнуть два случая: первый случай – разомкнутая САУ устойчива или находится на границе устойчивости; второй случай – разомкнутая САУ неустойчива и имеет Lправых корней характеристического уравнения.

Первый случай. Систему, находящуюся на границе устойчивости, путем искусственного сдвига нулевых корней с последующим предельным переходом можно свести к устойчивой системе. При устойчивой разомкнутой системе полином Q(s) имеет только «левые» корни характеристического уравнения, поэтому в соответствии с критерием Михайлова: . (6.14)

Для устойчивой замкнутой САУ необходимо, чтобы полином R(s) также имел только «левые» корни характеристического уравнения, а значит необходимо, чтобы

. (6.15)

Тогда . (6.16)

Таким образом, замкнутая САУ будет устойчива при устойчивой разомкнутой САУ или САУ, находящейся на границе устойчивости, если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы (годограф частотной передаточной функции разомкнутой САУ, годограф Найквиста) при изменении частоты ω от нуля до плюс бесконечности не должен охватывать точку с координатами (- 1 ;j0 ). Если годограф Найквиста охватывает точку с координатами (- 1; j0), то замкнутая САУ неустойчива.

Второй случай. При неустойчивой разомкнутой системе полином Q(s) имеет L «правых» корней характеристического уравнения, поэтому . (6.17)

Для устойчивой замкнутой САУ необходимо, чтобы полином R(s) имел только «левые» корни характеристического уравнения, а значит необходимо, чтобы выполнялось условие (7.9).

Тогда . (6.18)

Для второго случая можно сформулировать условие устойчивости замкнутой САУ по критерию Найквиста: замкнутая САУ будет устойчива при неустойчивой разомкнутой САУ, если годограф Найквиста при изменении частоты ω от нуля до плюс бесконечности охватывает точку с координатами (- 1; j0) (L/2) раз, где L– количество правых корней характеристического уравнения.

При L= 0 получаем условие первого случая как частный случай второго. Таким образом можно сформулировать общую формулировку критерия Найквиста: замкнутая САУ будет устойчива, если годограф Найквиста при изменении частоты ω от нуля до плюс бесконечности охватывает точку с координатами (- 1; j0) (L/2) раз, где L– количество правых корней характеристического уравнения.

Если годограф Найквиста проходит через точку с координатами (- 1; j0), то замкнутая САУ находится на колебательной границе устойчивости.

Для определения устойчивости с помощью логарифмических частотных характеристик необходимо построить ЛФЧХ под ЛАЧХ и по их поведению судить об устойчивости САУ.Если частота среза ЛАЧХ ω_с (частота при которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) меньше чем частота пересечения ЛАЧХ фазы, равной –π, то система устойчива. Если частота среза ЛАЧХ ω_с больше чем частота пересечения ЛАЧХ фазы, равной –π, то система неустойчива. Если частота среза ЛАЧХ ω_с равна частоте пересечения ЛАЧХ фазы, равной –π, то система находится на колебательной границе устойчивости.

8. При помощи критериев устойчивости можно установить факт устойчивости или неустойчивости САУ, все параметры которой заданы. Однако часто при проектировании и наладке САУ возникает более общая задача анализа устойчивости – определение допустимых (по условию устойчивости) пределов изменения некоторых варьируемых (регулируемых) параметров системы. В качестве таких параметров обычно рассматривают коэффициенты и постоянные времени управляющего устройства (регулятора), которые можно целенаправленно изменять при настройке системы. Так как эти коэффициенты и постоянные времени однозначно определяют коэффициенты характеристического уравнения системы, то последние так же могут служить варьируемыми параметрами. Допустимые пределы варьирования параметров системы можно определить путем построения областей устойчивости.

Область устойчивости САУ – область в пространстве варьируемых параметров САУ, каждой точке которой соответствуют корни характеристического уравнения только с отрицательными действительными частями (располагающиеся в левой части комплексной плоскости). Область устойчивости выделяет из всех возможных значений варьируемых параметров лишь те значения, при которых система устойчива. Поверхность, ограничивающая область устойчивости, называется границей области устойчивости. Все пространство вне области устойчивости называется областью неустойчивости. Если система в области варьируемых параметров не имеет области устойчивости, то такая система называется структурно неустойчивой и чтобы сделать ее устойчивой необходимо изменить ее структуру. Существуют общие рекомендации по влиянию на структурную устойчивость одноконтурной САУ:

- звенья, уменьшающие инерционность системы, способствуют ее устойчивости (например, форсирующее звено первого порядка);

-звенья, увеличивающие инерционность системы, способствуют ее неустойчивости (например, идеальные интегрирующее и колебательное звенья).

Вид области устойчивости и ее границы определяется числом варьируемых параметров. Так при одном варьируемом параметре µ область устойчивости – отрезок прямой, а граница – точки µ₁ и µ₂ по концам этого отрезка, при двух варьируемых параметрах µ и α область устойчивости – часть плоскости этих параметров, при трех параметрах µ, α и b область устойчивости будет определяться в трехмерном пространстве. Если количество варьируемых параметров равно n, то область устойчивости строиться в n -мерном пространстве, но для решения практических задач n обычно не превышает трех. Для отыскания границы области устойчивости можно воспользоваться одним из критериев устойчивости. Граница со стороны области устойчивости штрихуется, причем, штриховка наносится слева от прямой, отображающей границу устойчивости при изменении частоты ω от нуля до плюс бесконечности. Областью устойчивости будет являться область, очерченная кривой, внутрь которой будет направлена штриховка.

9. Запас устойчивости характеризуется удалением параметров САУ от границы устойчивости. Нахождение САУ на границе устойчивости можно определить по критериям устойчивости. Запас устойчивости характеризуется удаление частотных характеристик САУ от критических точек.

Четкую количественную характеристику запаса устойчивости дает критерий Найквиста. Запас устойчивости по модулю можно определить по формуле: , (6.19)

где ω_П – частота, при которой годограф Найквиста пересекает отрицательную ветвь вещественной оси.

Значение модуля АФХ разомкнутой САУ при постоянной ω_П зависит от коэффициента усиления k, поэтому запас по модулю есть запас по усилению: , (6.20)

где k_пред – значение коэффициента усиления, при котором и САУ находится на границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе Δφ определяется по дуге окружности единичного радиуса между отрицательной частью оси Re(ω) и ближайшей точкой пересечения окружности с годографом Найквиста при частоте ω_с (частоте среза).

На логарифмических характеристиках запас устойчивости по модулю определяется величиной ΔL, на границе устойчивости ΔL=0, т.е.

. (6.21)

Запас устойчивости по фазе Δφ есть величина угла между ЛФЧХ и –π, при ω=ω_с, где ω_с – частота среза (частота, при которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс). Запас по фазе обеспечивает сохранение устойчивости при увеличении запаздывания по фазе в системе и неизменном коэффициенте усиления системы. Запас устойчивости влияет на работоспособность САУ. В реальных системах запас устойчивости по модулю обычно составляет 15-20 дБ, а запас устойчивости по фазе 30⁰-50⁰.

10. Значительное число объектов управления описывается математической моделью, в состав которой входит звено чистого запаздывания, поэтому передаточная функция разомкнутой САУ со звеном чистого запаздывания имеет вид: , (6.22)

где – передаточная функция линейных звеньев;

– передаточная функция звена чистого запаздывания.

Звено чистого запаздывания не изменяет амплитуду АФХ, а создает дополнительный отрицательный сдвиг по фазе, зависящий от частоты.

Устойчивость системы с запаздыванием наиболее просто определять по критерию Найквиста, построив обычным образом годограф Найквиста и повернув каждую i – ю точку на угол Δφ = -ω_iτ по часовой стрелке. По поведению годографа Найквиста можно судить об устойчивости САУ с запаздыванием: САУ будет устойчива в случае, когда годограф Найквиста будет охватывать точку с координатами (- 1; j0) раз, где L – количество правых корней характеристического уравнения.

Иногда необходимо установить значение запаздывания, при котором САУ находится на границе устойчивости. Это время запаздывания носит названия критического запаздывания τ_кр. Значение критического запаздывания можно определить следующим образом: , (6.23)

откуда: , (6.24)

где ω_с – частота среза.

Контрольные вопросы:

1. Что называется устойчивостью?

2. Какие методы определения устойчивости Вы знаете? В чем они заключаются?

3. Нарисуйте графики движения устойчивой САУ, неустойчивой САУ и САУ, находящейся на границе устойчивости.

4. Как определяется устойчивость САУ по расположению корней характеристического уравнения?

5. Какое условие называется необходимым? В каком случае это условие становиться необходимым и достаточным условием устойчивости?

6. Какие критерии устойчивости называются алгебраическими, а какие частотными?

7. Что необходимо сделать для определения устойчивости САУ по критерию Рауса?

8. Сколько строк должна содержать таблица Рауса для характеристического уравнения n-го порядка?

9. Сформулируйте условие устойчивости по критерию Рауса.

10. Что необходимо сделать для определения устойчивости САУ по критерию Гурвица?

11. Сформулируйте условие устойчивости по критерию Гурвица.

12. Сформулируйте условие устойчивости по критерию Михайлова.

13. Сформулируйте условие устойчивости по критерию Найквиста для первого и второго случаев.

14. Сформулируйте общее условие устойчивости по критерию Найквиста.

15. Как определяется устойчивость САУ по логарифмическим частотным характеристикам?

16. Какие параметры системы обычно делают варьируемыми?

17. Какая область называется областью устойчивости, какая областью неустойчивости?

18. Какая система называется структурно неустойчивой?

19. Каким образом можно построить область устойчивости?

20. От чего зависит вид области устойчивости и ее границы?

21. Что определяет запас устойчивости?

22. Как определяется запас устойчивости по амплитуде и фазе?23. Как определяется устойчивость САУ со звеном чистого запаздывания?

23. Как определяется критическое время запаздывания?

Тема 7. Качество систем автоматического управления

Цель лекции: изучить способы определения точности работы САУ в установившихся режимах при типовых воздействиях; изучить динамические показатели качества.

План лекции:

1. Качество управления САУ.

2. Показатели качества управления САУ в статическом режиме, в установившемся динамическом режиме, в переходном режиме, интегральные показатели качества.

3. Задачи синтеза САУ.

1. Качество работы СА У – совокупность свойств, обеспечивающих эффективное функционирование системы в целом. В свою очередь, свойства, из этой совокупности, выраженные в количественной форме, называют показателями качества САУ. Так САУ можно характеризовать такими показателями качества, как вес системы, ее габариты, стоимость, надежность, долговечность и т.п. Эти показатели характеризуют качество САУ в широком смысле. В ТАУ же показатели качества рассматривают, как правило, в более узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы, характеризующие точность поддержания управляемой величины x(t) на заданном уровне x_з(t) соответственно в установившихся и переходных режимах, т. е. характеризующие эффективность процесса управления. Для такого более узкого понимания качества САУ применяют термин «качество управления САУ». Иными словами:

Качество управления САУ – совокупность свойств САУ, характеризующих точность поддержания управляемой величины на заданном уровне в установившихся и переходных режимах. В свою очередь, свойства, из этой совокупности, выраженные в количественной форме, называют показателями качества управления САУ.

Рассмотрим понятие точности САУ. Для типовой одноконтурной САУ можно составить обобщенную структурную схему (рисунок 7.1). Объект управления характеризуется одной управляемой переменной X(p), которую требуется

стабилизировать на заданном уровне X_З(p). На стабилизируемую переменную X(p) влияет возмущение X_В(p). Отклонение стабилизируемой переменной X(p), вызываемое этим возмущением компенсируется в системе целенаправленными изменениями управляющего воздействия Y(p), которое создается регулятором (управляющим устройством). На входе регулятора с передаточной функцией W_Р(p) действует сигнал рассогласования (ошибки) e (p). Этот сигнал формируется в результате сравнения (алгебраического суммирования) задающего воздействия X_З(p) и управляемой величины X(p). Согласно принципу наложения общее изменение выходной величины X(p), возникающее при совместном действии входных воздействий X_З(p) и X_В(p), равно сумме изменений, создаваемых каждым воздействием в отдельности. Отсюда уравнение динамики САУ в краткой записи:

(7.1)

или в развернутом виде:

(7.2)

Назначение САУ заключается в поддержании равенства: при любых изменениях задающего и возмущающих воздействий. То есть САУ должна воспроизводить задающее воздействие x_з(t) и подавлять (компенсировать) действие возмущающих воздействий. Однако из-за инерционности объекта управления и регулятора обе эти функции выполняются САУ с погрешностью (ошибкой) которая и характеризует точность САУ. Чем меньше мгновенные значения ошибки e (t), тем выше точность САУ, то есть ее качество. Для типовой одноконтурной САУ, уравнение динамики в операторной форме для сигнала ошибки имеет вид:

(7.3)

Подставляя значение управляемой величины Х(p) данное выше получаем:

(7.4)

Из этого выражения следует, что чем больше усилительные свойства регулятора (W_Р(р)), тем ошибка e(р), а значит и e(t) будет меньше и в статике и в динамике. Так как определение (вычисление) мгновенных значений ошибки e(t) при произвольном законе изменения внешних воздействий представляет собой сложную задачу, то точность САУ (показатели качества управления) принято оценивать по ошибкам в: статическом, установившемся динамическом и переходном режимах работы САУ.

· В статическом режиме работы САУ ошибки возникают только в статической системе! Статическая САУ – система, объект управления и регулятор которой являются статическими элементами. У таких элементов в статическом режиме (т.е. при р = 0):

(7.5)

где k_о, k_р – передаточные коэффициенты объекта управления и регулятора.

Учитывая значения передаточных функций, получаем в статическом режиме ошибку:

(7.6)

Анализ этого выражения позволяет сделать следующий вывод: т очность САУ в статическом режиме тем выше, чем больше передаточный коэффициент (k = k_р k_о) разомкнутой САУ.

Точность статической системы принято оценивать коэффициентом статизма (7.7)

где - установившееся отклонение управляемой величины x, вызванное изменением, например, задающего воздействия x_з, в разомкнутой системе;

- установившееся отклонение управляемой величины x, вызванное изменением задающего воздействия x_з, в замкнутой системе.

Точность системы – удовлетворительная, если коэффициент статизма системы s = 0,1 - 0,01, а передаточный коэффициент разомкнутой системы k =10 – 100.

· Установившийся динамический режим наступает после окончания переходного процесса. В этом режиме управляемая величина и сигнал ошибки имеют только вынужденную составляющую, то есть изменяются только под действием внешних воздействий. В зависимости от свойств САУ, от точки приложения и вида внешнего воздействия ошибка может вести себя следующим образом:

- ошибка равна нулю;

- ошибка равна постоянной величине;

- ошибка неограниченно возрастает.

В свою очередь, свойства САУ характеризуются:

- передаточным коэффициентом k разомкнутой САУ;

- порядком астатизма системы n - числом идеальных интегрирующих звеньев в разомкнутой АСУ (n = 0 – статическая система; n ³ 1 – астатическая система). Так как на практике находят применение И, ПИ, ПИД регуляторы, то порядок астатизма n = 1, но может быть и n = 2. В установившемся динамическом режиме, как и в статическом, действует правило: точность воспроизведения системой управления задающего воздействия и точность подавления ею внешних возмущений тем лучше, чем больше передаточный коэффициент регулятора.

· Точность САУ в переходном режиме оценивают при помощи прямых и косвенных показателей качества.

Прямые показатели качества определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе при ступенчатом внешнем воздействии.

Косвенные показатели качества определяют по распределению корней характеристического уравнения или по частотным характеристикам системы.

В настоящее время разработаны и получили широкое распространение мощные средства компьютерного моделирования САУ, позволяющие точно и быстро вычислять переходный процесс, т.е. оценивать точность системы через прямые показатели качества. Различают: колебательный, апериодический и монотонный типовые переходные процессы. Каждый из трех типовых переходных процессов имеет свои преимущества и недостатки, и предпочтение той или иной форме процесса отдают с учетом особенностей объекта управления. Так, например, в электромеханических системах, коими являются электрические системы, нежелательны резкие знакопеременные усилия, и поэтому при выборе настроек САУ такими объектами стремятся к достижению апериодических и монотонных процессов.

К основным прямым показателям качества управления САУ (для одноконтурной системы) относят: перерегулирование, степень затухания, длительность переходжного процесса (время регулирования) и колебательность.

Для показателей качества переходного процесса, вызванного ступенчатым изменением задающего воздействия x_з (t):

- Перерегулирование s - величина, равная отношению первого максимального отклонения x_м управляемой величины x(t) от ее установившегося значения x(¥) к этому установившемуся значению: (7.8)

Качество управления считается удовлетворительным, если перерегулирование не превышает 30 - 40%.

- Степень затухания определяется по формуле:

(7.9)

Интенсивность затухания колебаний в системе считается удовлетворительной, если y = 0,75 - 95.

- Длительность переходного процесса (время регулирования) t_п – интервал времени от момента приложения ступенчатого воздействия до момента, после которого отклонения управляемой величины x(t) от ее нового установившегося значения x(¥) становятся меньше некоторого заданного числа d_п, т. е. до момента, после которого выполняется условиеê x(t) - x(¥) ê £ d_п.. (7.10)

В промышленной автоматике величину d_п обычно принимают равной 5% от установившегося значения x(¥) [ d_п = 0,05 x(¥) ].

- Колебательность N – число переходов управляемой величины x(t) через ее установившееся значение x(¥) за время переходного процесса t_п.

Для переходных процессов, вызванных возмущающим воздействием x_в (t) на выходе объекта управления вводятся следующие показатели качества:

- Перерегулирование (колебательность) s - величина, равная отношению второго (отрицательного) максимального отклонения А₂ к первому максимальному отклонению А₁: (7.11)

- Динамический коэффициент регулирования R_Д – величина, равная отношению первого максимального отклонения к отклонению управляемой величины объекта управления, вызванному тем же возмущением:

(7.12)

где k_о – передаточный коэффициент объекта управления. Коэффициент R_Д показывает, насколько эффективно компенсирующее действие регулятора на объект управления (регулирования).

- Длительность переходного процесса (время регулирования) t_п – интервал времени от момента приложения ступенчатого воздействия до момента, после которого отклонения управляемой величины x(t) от ее нового установившегося значения x(¥) становятся меньше некоторого заданного числа d_п, т. е. до момента, после которого выполняется условие (9.1). В промышленной автоматике величину d_п обычно принимают равной 5% от начального отклонения x (+0) [d_п = 0,05 x(+0)].

· Каждый из рассмотренных выше прямых показателей качества характеризует лишь одно какое-либо свойство САУ, лишь один признак переходного процесса. Причем, все показатели связаны с настроечными параметрами регулятора сложными зависимостями, имеющими, как правило, противоречивый характер: изменение параметра приводит к улучшению одних показателей качества и ухудшению других. Это обстоятельство существенно затрудняет выбор параметров регулятора. Поэтому в инженерной практике широко используются интегральные показатели (оценки) качества.

Интегральная оценка качества – определенный интеграл по времени (в пределах от 0 до +¥) от некоторой функции управляемой величины x(t), а чаще сигнала ошибки e(t): (7.13)

Подынтегральная функция f₀ выбирается таким образом, чтобы интеграл лучше характеризовал качество системы и проще выражался через коэффициенты передаточной функции замкнутой системы. Чтобы интеграл был сходящимся, в функцию f₀ вводят не абсолютные значения x(t) или e (t), а их отклонения от конечных, установившихся значений.

Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка: (7.14)

которая равна площади, заключенной между прямой x (¥) и кривой переходного процесса x (t). Интегральная оценка учитывает как величину динамических отклонений, так и длительность их существования. Поэтому чем меньше оценка, тем лучше качество процесса управления.

Недостатком линейной интегральной оценки Q_Л является то, что ее можно применять лишь для заведомо неколебательных, апериодических переходных процессов. Интеграл, вычисленный для знакопеременной кривой будет существенно меньше интеграла, вычисленного для апериодической кривой (хотя качество переходного процесса в этом случае лучше).

В связи с этим для колебательных переходных процессов применяют такие интегральные оценки, знакопеременность подынтегральной функции которых тем или иным способом устранена. Такой оценкой является, например, модульная интегральная оценка: . (7.15)

Все рассмотренные интегральные показатели используют не только для оценки качества, но и для определения оптимальных значений настроечных параметров САУ. Оптимальными считают такие значения, которые соответствуют минимуму интегрального показателя: Q ® min.

Интегральные оценки качества являются комбинированными критериями, т.к. они оценивают в совокупности запас устойчивости, быстродействие и установившуюся ошибку. Основаны на разработанных условных интегральных показателях, достаточно просто характеризующих отклонение переходного процесса реальной системы от идеальной.

3. Все математические задачи, решаемые в теории автоматического управления, можно объединить в два больших класса: задачи анализа и задачи синтеза.

В задачах анализа полностью известна структура системы, заданы все (как правило) параметры системы, и требуется оценить какое-либо ее статическое или динамическое свойство. К задачам анализа относятся определение устойчивости и оценка качества управления системы.

Задачи синтеза можно рассматривать как обратные задачам анализа: в них требуется определить структуру и параметры системы по заданным показателям качества управления. Простейшими задачами синтеза являются, например, задачи определения передаточного коэффициента разомкнутой САУ по заданной ошибке или условию минимума интегральной оценки.

Синтез САУ – процедура определения структуры и параметров системы по заданным показателям качества управления. В общем случае при проектировании системы необходимо определить алгоритмическую и функциональную структуры системы, т. е. решить задачу полного синтеза.

Определение алгоритмической структуры (теоретический синтез) производится с помощью математических методов и на основании требований, записанных в четкой математической форме.

Определение функциональной структуры (технический синтез) заключается в выборе конкретных физических элементов и согласования их между собой по статическим и энергетическим характеристикам. Эта процедура не имеет пока строгой математической основы (т.е. не формализована) и поэтому относится к области инженерного творчества.

С учетом того, что не любой элемент алгоритмической структуры может иметь отображение в виде физического блока функциональной структуры, т.е. просто не может быть реализован, задачу синтеза в большинстве случаев невозможно решить, определяя сначала алгоритмическую структуру САУ, а затем по ней – функциональную структуру. Поэтому задачу синтеза в большинстве случаев решают следующим образом:

1). Сначала, исходя из известности объекта управления ОУ, требований к назначению и условиям работы САУ, по каталогам серийного оборудования выбирают функционально необходимые элементы системы: регулирующий орган, исполнительное устройство ИУ, воспринимающее устройство. Эти элементы САУ вместе с объектом управления образуют неизменяемую часть функциональной структуры системы.

2). Затем, на основании требований к статическим и динамическим свойствам САУ определяют изменяемую часть функциональной структуры системы, в которую входят: усилительно-преобразующий блок, корректирующие устройства.

Таким образом, процедуры определения алгоритмической и функциональной структур тесно переплетаются друг с другом. Окончательное решение о структуре САУ принимается на основе компромисса между качеством управления, с одной стороны, и простотой и надежностью, с другой.

Заключительным этапом проектирования САУ является параметрическая оптимизация – определение настроечных параметров выбранного регулятора.

В настоящее время наибольшее развитие получили следующие вопросы синтеза:

- синтез оптимальных динамических характеристик системы;

- синтез параметров системы заданной структуры;

- синтез корректирующих устройств системы по заданным показателям качества.

Синтез оптимальных динамических характеристик системы обычно сводится к решению вариационной задачи, обеспечивающей в соответствии с принятым критерием оптимизации наилучшее управление или теоретический минимум ошибки управления.

Синтез параметров системы заданной структуры и синтез корректирующих устройств системы по заданным показателям качества можно рассматривать как инженерную задачу, сводящуюся к такому построению САУ, при котором обеспечивается выполнение технических требований, предъявляемых к ней. При инженерном синтезе САУ стремятся обеспечить в первую очередь, требуемую точность и приемлемый характер переходных процессов. В этом случае из многих возможных решений окончательно выбирается одно, лучшее с точки зрения существующих конкретных условий и требований.

При синтезе параметров системы заданной структуры в системе регулирования и управления обычно задается объект управления. Если заданы структура регулятора и корректирующих устройств, то задача синтеза сужается до выбора параметров регулятора и корректирующих устройств, исходя из поставленных требований. Для выбора параметров САУ широко используются косвенные связи, установленные между характеристиками распределения корней (степень устойчивости, затухание, колебательность и т.п.) и переходными характеристиками САУ, а также непосредственные связи, существующие между нулями и полюсами и переходными характеристиками. Наиболее распространенными методами выбора параметров систем заданной структуры являются: использование характеристик распределения корней; метод стандартных коэффициентов.

В случае синтеза корректирующих устройств, считается, что основная часть системы уже задана, что обычно и имеет место. Требуется синтезировать корректирующие звенья, то есть выбрать их схему и параметры. При этом необходимо, чтобы в результате коррекции САУ обеспечивались: требуемый запас устойчивости, точность управления в установившихся режимах и качество управления в динамических режимах.

После решения задачи синтеза обычно выполняют анализ синтезированной системы, т. е. проверяют, обладает ли система необходимыми показателями устойчивости и качества управления.

Для решения задачи синтеза, например, алгоритмической структуры типовой одноконтурной САУ (рисунок) должны быть известны: передаточная функция объекта управления W_О(p), возмущение, действующее на выходе объекта, X_В(p). Результатом решения задачи синтеза алгоритмической структуры должна быть передаточная функция регулятора W_Р(p), которые имеют настроечные параметры. Настроечные параметры регулятороввлияют следующим образом на показатели качества регулирования:

- Увеличение коэффициента k_П пропорциональной части регулятора приводит к увеличению перерегулирования s, времени t_п переходного процесса и уменьшению степени затухания Y.

- Увеличение коэффициента k_И интегральной части регулятора приводит к уменьшению времени t_п переходного процесса и увеличению перерегулирования s.

- Увеличение коэффициента k_Д дифференциальной части регулятора приводит к уменьшению времени t_п переходного процесса и увеличению перерегулирования s.

Контрольные вопросы:

1. Что называют качеством работы САУ? Показателями качества работы САУ?

2. Что называют качеством управления САУ и показателями качества управления САУ?

3. В каких режимах принято оценивать точность САУ по ошибкам? Почему?

4. Как оценивается качество управления САУ в статическом режиме?

5. Как оценивается качество управления САУ в установившемся динамическом режиме?

6. Как оценивается качество управления САУ в переходном режиме?

7. Как оценивается качество управления САУ с помощью интегральных показателей качества управления?

8. В чем заключаются задачи синтеза САУ?

Тема 8. Случайные воздействия в линейных САУ.

Цель лекции: изучить понятие случайного воздействия (функции); способы преобразование случайных сигналов.

План лекции:

1. Случайные воздействия.

2. Преобразование стационарной случайной функции.

1. В теории вероятности различают (в порядке нарастающей сложности): случайные события, случайные величины и случайные процессы.

Случайным событием А называется такое, которое при данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Случайной величиной Х называется такая величина, появление каждого значения которой представляет собой случайное событие. Эти величины могут быть дискретными и непрерывными. В практи­ке регулирования в основном встречаются непрерывные случай­ные величины. Они характеризуются следующими статистичес­кими характеристиками:

- закон распределения F(х) случайной величины;

- плотность вероятности f(х) случайной величины;

- математическое ожидание случайной величины;

- дисперсия случайной величины;

- среднеквадратичное отклонение случайной величины;

- средний квадрат случайной величины.

Случайным процессом называется такая функция времени, значение которой в любой момент времени представляет собой случайную величину. Случайные процессы также исследуются статистически, т.е. путем проведения и обработки множества опы­тов. Причем график случайного процесса, полученный в каждом отдельном опыте, называется реализацией случайного процесса. Сам по себе он случайным не является, поскольку реализация от­ражает уже состоявшийся факт, ставший детерминированным. Бесчисленное множество (ансамбль) реализаций применяется как одна из форм наглядного представления случайного процесса. При таком представлении каждое значение x(t) можно рассмат­ривать как сечение ансамбля реализаций. Статистические характеристики случайного процесса делятся на: одномерные (т.е. относящиеся к одному сечению) и многомер­ные (относящиеся к двум и более сечениям). Одномерные харак­теристики такие же, как у любой случайной величины, и они не могут охарактеризовать связи между сечениями. При равном О математическом ожидании для каждого сечения процесс называ­ется центрированным. Из многомерных наиболее употребитель­ны двумерные, т.е. характеризующие два сечения, а из них, в свою очередь, корреляционная функция, которая представляет собой математическое ожидание произведения двух сечений.

Стационарным называется случайный процесс, статистические характеристики которого не зависят от выбора начала расчета времени.

Эргодическим называется такой стационарный случайный процесс, для которого средние по вероятности величины равны соответствующим средним по времени, определенным для одной достаточно продолжительной реализации, существующей на отрезке.

Корреляционная (автокорреляционная) функция случайного процесса – функция двух переменных, значение которой для каждой пары произвольно выбранных моментов времени равно корреляционному моменту соответствующих сечений центрированного случайного процесса. Корреляционная функция отражает вероятностную взаимосвязь (корреляцию) между случайными величинами.

Спектральная плотность S(ω) - преобразование Фурье корреляционной функции случайного процесса.

2. Преобразование спектральных плотностей при прохождении сигналов через линейную систему.

Пусть для САР заданы спектральные плотно­сти: S_х(ω) - задающего воздей­ствия; S_f(ω) - возмущения (помехи). Необходимо найти спектральную плотность вы­ходной величины S_у(ω). Для этого выразим комплексный частотный спектр Δ_т (jω) выходной ве­личины через спектры входных воздействий и соответствующие частотные передаточные функции. Взаимные спектральные плотности могут быть найдены, как преобразования Фурье от соответствующих взаимных корреляци­онных функций. Если случайные процессы независимы, то их взаимные спектральные плотности равны нулю. В этом случае фор­мула преобразования спектральных плотностей уп­ростится. Таким образом, при независимых входных случайных воздей­ствиях спектральная плотность выходной величины линейной САР равна сумме произведений спектральных плотностей вход­ных воздействий на квадраты модулей соответствующих частот­ных передаточных функций.

Дата добавления: 2015-04-29