Построение доверительного интервала для оценки среднего значения генеральной совокупности

Доверительный интервал. Доверительная вероятность

Интервальные оценки параметров генеральной совокупности

Под термином «оценка» понимаются как сами значения параметров генеральной совокупности, полученные по выборке, так и правило, по которому они получены. При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с той или иной вероятностью находятся истинные значения параметров.

Вероятности, признанные достаточными для того, чтобы уверенно судить о генеральных параметрах на основании выборочных характеристик, называют доверительными.

В качестве доверительных вероятностей принято выбирать значения 0,9; 0,95; 0,99; 0,999 (их еще выражают в процентах).

(1 – α) – доверительная вероятность, а α – уровень значимости
(α = 0,1; 0,05; 0,01; 0,001), задающий вероятность того, что оцениваемый генеральный параметр выходит за границы доверительного интервала.

Выбор доверительной вероятности производится исследователем, исходя из практических соображений о той ответственности, с какой делаются выводы о генеральных параметрах. Как правило, в научных исследованиях в области спорта считается достаточной доверительная вероятность 0,95 (95 %).

Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью находится оцениваемый генеральный параметр, называется доверительным интервалом.

Иными словами, доверительным интервалом J_p называют случайный интервал (Q₁, Q₂), который накрывает неизвестную характеристику Q с доверительной вероятностью p.

Q*

Q

J_p

e₁

e₂

Θ₁

Θ₂

Границы доверительного интервала J_p называют:

Q₁ = Q* - e₁ – нижней доверительной границей;

Q₂ = Q* + e₂ – верхней доверительной границей.

Значения e₁ и e₂ могут совпадать (при симметричном распределении Q*) и быть разными (при несимметричном распределении Q*). Они характеризуют точность, а вероятность p – надежность определения Q. Между надежностью и точностью существует обратная зависимость: чем выше надежность, тем ниже точность определения Q и наоборот.

С увеличением числа измерений при заданном p повышается точность определения Q (уменьшаются e₁ и e₂).

Для точного расчета границ доверительного интервала необходимо знать закон распределения выборочной характеристики Q*.

Чтобы найти границы доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности необходимо выполнить следующие действия:

1) по полученной выборке объема n вычислить среднее арифметическое и стандартную ошибку среднего арифметического по формуле:

;

2) задать доверительную вероятность 1 – α, исходя из цели исследования;

3) по таблице t -распределения Стьюдента (Приложение 4) найти граничное значение t_α в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k = n – 1;

4) найти границы доверительного интервала по формуле:

.

Примечание: В практике научных исследований, когда закон распределения малой выборочной совокупности (n < 30) неизвестен или отличен от нормального, пользуются вышеприведенной формулой для приближенной оценки доверительных интервалов.

Доверительный интервал при n ≥ 30 находится по следующей формуле:

,

где u _a – процентные точки нормированного нормального распределения, которые находятся по таблице 5.1.

Дата добавления: 2015-04-30