Оценка показателей надёжности восстанавливаемых нерезервированных систем

10.1 Потоки отказов и восстановлений работоспособности систем

Повышение надёжности технических объектов (систем) можно получить двумя путями: резервированием элементов системы (о чём шла речь выше), и восстановлением работоспособности системы после отказа её элементов. В последнем случае система должна обладать свойством ремонтопригодности. Также системы чаще всего не резервируются, и только в особых, наиболее ответственных случаях, дублируются или резервируются её отдельные элементы.

Для восстанавливаемых систем характерны случайные потоки отказов работоспособности, во времени и восстановлении , соответственно, с интенсивностями и . Эти потоки обладают особыми свойствами, или им можно приписать эти свойства, с допустимой погрешностью с тем условием, чтобы выбрать известный математический аппарат для оценки показателей надёжности.

Наиболее удобен для аналитических оценок простейший поток, который характеризуется:

1. Стационарностью отказов, так как .

2. Отсутствием последействия, т.е. если происходит случайное событие, например, отказ в некоторый момент времени , не вызывающий отказа в другие моменты, то отказы не зависимые между собой.

3. Наличием ординарности, т.е. вероятности того, что на интервале времени возникнет событие, например, отказ, во много раз большей чем вероятность возникновения двух и более событий. Вероятность попадания величины в интервал зависит от размера этого интервала, а не от того, с какого места начат его отсчёт.

Поток отказов работоспособности системы и её восстановления с отмеченными свойствами является простейшим стационарным, и он описывается выражением закона Пуассона

— дискретное распределение, время безотказной работы и время восстановления подчиняется экспоненциальному закону.

– непрерывное распределение.

Физическое понимание параметров выражения закона Пуассон, которым описывается простейший стационарный поток, приведено на рисунке 24.

Рисунок 24 – Графическое отображение простейшего потока

10.2. Марковский случайный процесс

Потоки отказов и восстановлений формируют состояние системы и её элементов (подсистем, модулей, блоков, узлов).

Системы (объекты) и их элементы при их функционировании переходят из одного состояния в другие состояния. Для расчёта показателей надёжности применяются различные методы, выбор которых определяется стандартом ГОСТ 27.301-95 и его Приложением. Основными методами расчёта являются структурные.

В качестве структурных схем расчёта показателей надёжности при разработке и проектировании объектов применяются графы (диаграммы) состояний и переходов, описывающих возможные состояния объекта и его переходы из одного состояния в другое в виде совокупности состояний и переходов его элементов.

Для математического описания графа переходов состояний резервированных последовательных структур с восстановлением и произвольными способами резервирования элементов систем, а также невосстанавливаемых систем с различными способами резервирования и при экспоненциальном распределении наработок до отказа элементов широко применяются Марковские модели.

Графы состояний объектов (систем), при допущении того, что поток событий (процессов) случайный во времени является пуассоновским, и время безотказной работы, а также время восстановления элементов подчиняется экспоненциальному закону, описывается аппаратом Марковского процесса.

Рассматривая этот процесс, например, применительно к износу элемента системы во времени , то он является случайным и он реализуется по кривым, представленным на рисунке 25.

Рисунок 25 – Кривые процесса изнашивания элементов во времени

Рисунок 26 – График перехода состояний ситемы

Согласно графику (рис. 26) система из состояния переходит в состояние , из в состояние , из в состояние и т.д.

При Марковском процессе состояния системы описываются системой дифференциальных уравнений.

10.3 Типовые графы состояния функционирования системы

Рассмотрим возможные виды графов на примере автоматической системы экологического мониторинга, состоящую из трёх элементов (модулей, подсистем): поста контроля ПК параметров окружающей среды; канала связи КС, центральной ЭВМ. Схема системы АСКОС представлена на рис. 27.

Рисунок 27 – Структура АСКОС

Восстанавливаемая, нерезервированная система. Отказ одного из элементов приводит к отказу всей системы экологического мониторинга. Изобразим функционирование данной системы с помощью теории графов (рис. 28):

– состояние безотказной работы АСКОС.

– состояние поста контроля после отказа;

– состояние канала связи после отказа;

– состояние центральной ЭВМ после отказа;

Система из состояния переходит в состояние с некоторым параметром (интенсивность отказов), а из в параметром и в другие состояния.

Рисунок 28 – Размеченный граф состояния системы

– интенсивность отказов;

– интенсивность восстановления.

Граф гибели невосстанавливаемой системы показан на рисунке 29.

Рисунок 29 – Схема графа гибели

Системы из работоспособного состояния переходит в неработоспособное состояние при последовательном отказе элементов (рис. 30).

Граф гибели и размножения системы

Рисунок 30 – Схема графа гибели и размножения

– состояние полного отказа, отказал основной и все резервные элементы;

– безотказное состояние;

– отказал основной элемент, а 1-ый резервный работает;

– отказал основной и 1-ый резервный, а работает 2-ой элемент.

Графы гибели описывают состояния резервированных, невосстанавливаемых систем.

Графы гибели и размножения описывают состояния резервированных восстанавливаемых систем.

Циклический граф

Рисунок 31 – Схема циклического графа

Через n шагов система переходит из одного состояния в другое. Она может прийти в начальное состояние, или в состояние функционирования после ремонта и т.д.

Выводы:

1. Пошаговый процесс

2. Состояние системы дискретно.

3. Время перехода системы из одного состояния в другое распределено экспоненциально.

Приведённые графы, при допущении, что поток событий — Пуассоновский, и время безотказной работы, а также время восстановления описаны экспоненциальным законом — это Марковские процессы.

Лекция 11

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ГРАФОВ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ

Для примера принимаем граф (рис.32) восстанавливаемой нерезервируемой системы экологического мониторинга СЭМ. В этом случае оцениваются стандартные показатели надёжности: вероятность безотказной работы , коэффициент готовности , либо коэффициент оперативной готовности.

Рисунок 32 – Графическое представление

Вероятность нахождения системы в данном состоянии описывается Марковской моделью по схеме:

; ;

; .

Вероятность изменения этого состояния за малый промежуток времени описывается дифференциальным уравнением вида:

,

где – выражения состояний.

Вероятность состояния элементов описывается системой аналогичных дифференциальных уравнений:

Для решения этой системы необходимо знать значения интенсивностей отказов и восстановлений , которые определяются опытным путём.

Если же система функционирует продолжительное время (), тогда она принимает вид:

.

Это система дифференциальных уравнений Колмогорова для графа состояний последовательных элементов. Она трансформируется в систему простых алгебраических уравнений:

Решение этой системы достигается путём нормирования . Тогда можно записать:

Решив систему алгебраических уравнений, определяем , которое является коэффициентом готовности :

— это есть уравнение надёжности восстанавливаемых нерезервированных систем в стационарном режиме.

Восстановление — есть рациональный путь, как и резервирование, повышения надёжности () системы, .

Определив , можно найти коэффициент простоя . Уменьшая время простоя, увеличиваем .

Для невосстанавливаемых резервируемых систем имеются нижеследующие расчётные выражения ПН.

1. Для ненагруженной системы, вероятность безотказной работы резервированной системы

, при ,

где — среднее время безотказной работы резервированной системы;

– интенсивность отказов нерезервированной системы;

– кратность резервирования;

– число резервных элментов.

2. Для нагруженного резервирования:

при ;

.

3. Для системы с облегченным резервом:

при ,

где – коэффициент, который показывает насколько резервный элемент разгружен по отношению к основному,

.

Лекция 12

НАДЁЖНОСТЬ СИСТЕМЫ БЕЗОПАСНОСТИ

Дата добавления: 2015-04-30