Общие сведения о науке надёжности 2 страница

Отсюда вероятность отказа газотурбинной установки:

,
что совпадает с решением, полученным через теорему сложения вероятностей.

Из сопоставления двух способов решения задачи видна предпочтительность использования теоремы умножения вероятностей, что приводит к более простым вычислениям

Пример 2

Рассмотрим паросиловую установку (рис 4) как систему, которая состоит из четырёх последовательно соединенных элементов:

питательного насоса (1), котла (2), турбины(3) и конденсатора (4).

Требуется определить вероятность отказа паросиловой установки за время t, если вероятности независимых отказов ее элементов за это время составляют:

g₁(t)=0,03; g₂(t)=0,08; g₃(t)=0,1; g₄(t)=0,02.

Рис. 4. Схема паросиловой установки

Для упрощения нахождения ответа целесообразно использовать теорему умножения вероятностей исисходя из словесной формулы: «паросиловая установка будет работать безотказно, если безотказно будет работать и насос, и котел, и турбина, и конденсатор».

Вероятности безотказной работы элементов системы за время t находятся следующим образом: ; ; ; .

Отсюда вероятность безотказной работы паросиловой установки за время t согласно c теоремой умножения вероятностей составит:

.

Соответственно искомая вероятность отказа паросиловой установки за время работы t будет равна

.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н₁, Н₂,… Н_n, образующих полную группу несовместных событий. Таким образом, событие А может произойти только в комбинации с одним из событий Н_i

А = Н1·А + Н2 А + …Нn·А

(14)

Поскольку комбинации Н₁А, Н₂А….Н_nА несовместны, то применив к ним теорему сложения вероятностей, получим

(15)

Применив далее к событию Н_i·А теорему умножения для зависимых событий, получим формулу полной вероятности:

(16)

Пример 3

Оценить надежность функционирования технической системы из двух несовместно работающих элементов «двигатель-стартер». Относительное время работы стартера 5% при вероятности отказа за время t g_ст(t)=0,04, а двигателя – 95% при вероятности отказа g_дв(t)=0,02.

Событие работа стартера H₁ и работа двигателя H₂ образуют полную группу несовместных событий, вероятности наступления которых составляют:

P(H₁)= =0,05; P(H₂)= =0,95.

Событие А отказа двигателя или стартера может произойти только совместно с событием H₁ или H₂ нахождения их в работе, что соответствует форме записи условной вероятности:

P(A/H₁)=0,04; P(A/H₂)=0,02.

Для определения вероятности появления отказа системы по причине отказа двигателя или стартера воспользуемся формулой полной вероятности

В случае необходимости можно найти вероятность противоположного события (Ā) – непоявления отказа

P(Ā)=1– P(А)=1 – 0,021= 0,979.

Пример 4

На протяжении года ТЭЦ последовательно работает на трех режимах: пиковом - отопительном, смешанном тепло-электрогенерирующем и исключительно электрогенерирующем. В среднем эти режимы характеризуются следующими продолжительностями: тепловой – 2 месяца (H₁); смешанный – 6 месяцев (H₂); электрогенерирующий – 4 месяца (H₃).

Требуется определить вероятность отказа ТЭЦ в течение года P(A), если известны вероятности отказов при каждом режиме работы в отдельности за этот же период времени (событие A):

P(A/H₁)=0,1; P(A/H₂)=0,11; P(A/H₃)=0,09.

Определим вероятность нахождения ТЭЦ в одном из трёх режимов работы в каждый данный момент времени:

Поскольку события H образуют полную группу несовместных событий, то согласно формулы полной вероятности найдем искомую вероятность отказа ТЭЦ в течение года.

Соответственно вероятность безотказной работы ТЭЦ в течение года составит:

2.3. Распределение случайных величин

Важным в теории надёжности является понятие случайной величины (СВ), т.е. величины, которая в опытах может принимать то или иное неизвестное заранее значение. Для СВ, которые могут быть дискретными или непрерывными, важно знать закон их распределения. Закон распределения это соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероятностями.

Универсальной характеристикой дискретных и непрерывных СВ является функция распределения, называемая также интегральным законом распределения. Для дискретных СВ функция интегрального распределения имеет вид

,

(17)

где x_i < x указывает на то, что суммирование распространяется на все те значения, которые меньше x.

Когда текущая переменная x проходит через какое-нибудь из возможных значений дискретной СВ, функция F(x) меняется скачкообразно (рис.5а), а величина скачка соответствует вероятности Р(X = x_i). Сумма всех возможных скачков функции F(x) равна единице.

Рис.5. Характерный вид интегральных функций распределения СВ а) дискретной, б) непрерывной

Для непрерывных СВ нельзя перечислить все её возможные значения, поэтому для количественной характеристики пользуются не вероятностью события X = x_i, а вероятностью события X < x_і. Соответственно функция распределения записывается следующим образом

F(x)=P(X < xі),

(18)

а график функции имеет вид кривой, представленной на рис.5, б.

Здесь, к примеру, вероятность попадания СВ на участок α – ß равна приращению функции на этом участке F(ß) – F(α).

Для непрерывных СВ наряду с интегральной используется также дифференциальная функция распределения величины x, представляющая собой производную f(x) = F'(x).

График дифференциальной функции называется кривой распределения (рис.6).

Рис.6. Примерный вид кривой распределения

Интеграл в бесконечных пределах, т.е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

(19)

Вероятность попадания случайной величины x на участок от α до ß определяется следующим образом:

(20)

Пример 5

Требуется определить вероятности отказов p_i для текущих отрезков времени t, накопленную вероятность Σp_i и построить график интегрального распределения дискретных случайных величин F(x) по результатам ускоренных испытаний партии насосов в количестве N = 100 единиц.

Полученные после завершения работ данные группируются в дискретный ряд, представляющий собой количество отказов n, имевших место в каждом текущем месяце t из общей продолжительности испытаний t = 8 месяцев. Помесячное количество отказов n_і с рассчитанными значениями вероятностей их появления p = n_і/ N, а также накопленная вероятность F(t) =∑ p_і сведены в табл. 1.

Таблица 1
текущий месяц, xi	1	2	3	4	5	6	7	8
количество отказов, ni	3	8	13	24	28	17	4	3
вероятность отказа, pi	0,03	0,08	0,13	0,24	0,28	0,17	0,04	0,03
накопленная вероятность, F(x)= Σpi	0,03	0,11	0,24	0,48	0,76	0,93	0,97	1

Теперь откладывая по оси абсцисс порядковые месяцы испытаний x_i, а по оси ординат F (x ) значения накопленной вероятности получим скачкообразную функцию вероятности (рис.7) отказа конденсатного насоса, достигающую единицы к восьмому месяцу работы

Рис. 7 Характер распределения вероятностей

График дает наглядное представление о характере распределении вероятностей отказов насосов по результатам ускоренных испытаний.

2.4. Числовые характеристики случайных величин

Для вероятностного описания СВ широко используются так же числовые характеристики и прежде всего такие как: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Математическое ожидание дискретной случайной величины m_x - это сумма произведений всех возможных значений СВ на вероятность этих значений:

.

(21)

Для непрерывных СВ с дифференциальной функцией распределения вероятностей f(x) математическое ожидание равно:

.

(22)

Дисперсия характеризует рассеивание СВ около математического ожидания m_x. Для дискретной СВ дисперсия находится согласно:

,

(23)

а для непрерывной:

.

(24)

Среднеквадратичное отклонение СВ имеет размерность математического ожидания и соответственно находится

.

(25)

Коэффициент вариации представляет собой отношение

νx = σx / mx.

(26)

Пример 6

Определить числовые характеристики случайных событий отказов пылевых вентиляторов по результатам их испытаний. Испытаниям продолжительностью в 1 год подвергается партия вентиляторов в количестве N = 100 единиц с условием немедленного восстановления их работоспособного состояния в случае отказов. На основании полученных данных вентиляторы группируются по признаку равного количества отказов x_і и рассчитываются вероятности их появления как p = x_і / N. Обработанные результаты испытаний представлены в табл. 2.

Таблица 2
количество вентиляторов ni	1	6	10	20	63
количество отказов xi	8	5	3	1	0
вероятность отказов pi	0,01	0,06	0,1	0,2	0,63

Согласно данным таблицы находятся числовые характеристики случайных событий отказов пылевых вентиляторов.

Математическое ожидание количества отказов:

Дисперсия количества отказов:

Среднеквадратичное отклонение:

Коэффициент вариации:

γ_x = σ_x /m_x =1,57 / 0,88 = 1,78.

3. Статистические характеристики показателей надёжности

3.1. Виды показателей надёжности

Для количественной оценки различных свойств надёжности используется ряд простых и комплексных показателей. К простым показателям относятся наработка на отказ, частота отказов, вероятность безотказной работы и среднее время восстановления.

Наработка на отказ Т_о – отношение наработки восстанавливаемого объекта к числу отказов за это время. Если Т_о определяется по результатам испытаний N объектов, каждый из которых имел наработку t_i и количество отказов n_i, то

(27)

Используется и обратная величина наработки на отказ λ, называемая интенсивностью отказов

λ = 1 / Т_о. ( 28)

Частота отказов ώ – оценивает число повреждений (выходов из строя) объектов в единицу времени и находится

(29)

где n_о – количество отказов; N – количество однотипных объектов; ∆t –период времени, обычно годовой, равный 8760 час.

Вероятность безотказной работы p(t) – характеризует вероятность того события, что в пределах заданной наработки t отказа объекта не возникнет.

p(t) = P(t' > t),

(30)

где t' - наработка от включения до первого отказа.

Можно пользоваться и обратной величиной g(t) - вероятностью того, что в пределах заданной наработки t произойдёт хотя бы один отказ.

g(t) = P (t' < t).

(31)

Показатели p(t) и g(t) используются для оценки безотказности объектов и их численные значения имеют определённый смысл лишь тогда, когда они поставлены в соответствие с заданной наработкой t, в течение которой возможно возникновение отказа.

Среднее время восстановления Т _в – представляет собой математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта. Если в процессе испытаний или работы N объектов установлено суммарное время простоев каждого объекта из-за отказов τ_i и при этом зафиксировано n_i отказов каждого объекта, то

(32)

Обратная величина среднего времени восстановления μ называется интенсивностью восстановления

μ = 1/ Т_В. (33)

Среднее время восстановления и интенсивность восстановления характеризуют ремонтопригодность объекта.

Комплексные показатели надёжности, к которым относятся коэффициенты готовности и технического использования, учитывают одновременно безотказность и ремонтопригодность объекта.

Коэффициент готовности К_г – характеризует вероятность того события, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, кроме периодов, в течении которых использование объекта не предусмотрено.

Кг = То / (То + Тв).

(34)

Второй формой записи коэффициента готовности с использованием коэффициентов интенсивности отказов λ и восстановлений μ является

К_г= μ / (λ + μ). (35)

Коэффициент технического использования К_ти – отличается учётом времени Т_пр простоя объекта при выполнении регламентных планово-предупредительных ремонтных работ и работ по техническому обслуживанию.

Кти = То / (То + Тв + Тпр).

(36)

Комплексные показатели К_г и К_ти удобно использовать для оценки производительности теплотехнического оборудования в установившемся режиме эксплуатации.

Пример 7

Определить простые и комплексные показатели надежности по следующим результатам наблюдений (табл.3) за эксплуатацией трёх котельных установок.

Таблица 3
порядковый номер установки N	наработка, ti, лет	количество отказов, ni	суммарное время ремонтов τi, дней
1	12	5	43
2	6	3	36
3	10	2	29

1.Наработка на отказ находится как отношение суммарной наработки котельных установок к общему числу отказов за этот период:

2. Среднее время восстановления находится как отношение суммарных затрат времени на ремонты котельных установок к общему числу их отказов.

3.Коэффициент готовности котельной установки:

4.Коэффициент технического использования:

где Тр.п.=15дней – регламентный простой котла на протяжении годового периода для выполнения технического обслуживания и планово-предупредительных ремонтов

Пример 8

Определить частоту ω и интенсивность отказов λ котла, если наработка его на отказ составляет Т_о=1400 ч.

ώ = 8760 / Т_о = 8760 / 1400 =6,261 / год.

λ = 1/ Т_о = 1/1400 = 7,14 10^-4 ч^-1.

Пример 9

Частота отказов котла составляет ώ= 6.26 1/год, а время восстановления Т_В =50 ч. Определить наработку на отказ Т_О и коэффициент готовности К_Г котла.

Т_О = 8760 / ω = 8760 / 6,26 = 1400 ч.

К_Г = Т_О / (Т_О + Т_В) = 1400 / (1400 + 50) = 0,965

Пример 10

Энергоблок характеризуется частотами отказов котла, турбины и электрогенератора: ώ₁₌ 6,26 1/ год, ώ₂ = 1.45 1/ год, ώ₃= 0,55 1/ год и соответствующим временем восстановления этих элементов: Т_В1= 50 ч, Т_В2= 45 ч,

Т_В3= 90 ч. Определить показатели надёжности для энергоблока в целом.

Частота отказов:

ώ =∑ώ_i = ώ₁+ ώ₂ + ώ₃ = 6,26 + 1,45 + 0,55 = 8,26 1/ год.

Наработка на отказ:

Т_o= 8760 /ώ = 8760/ 8,26 = 1060 ч.

Время восстановления:

Т_В = ∑ώ_i Т_Вi / ∑ώ_i = (ω₁Т_В1 +ω₂ Т_В2 + ω₃Т_В3) ∕ ω = (6,26∙50 +1,45∙45 + 0,55∙90)/8,26= 51,7 ч.

Коэффициент готовности энергоблока

К_Г = Т_О / (Т_О + Т_В) = 1069/(1069 + 51,7) = 0,954

3.2. Связь показателей надёжности с функциями распределения

Применительно к надёжности теплоэнергетических объектов в качестве СВ рассматривается время t. Соответственно вероятность отказа представляет собой вероятность того события, что фактическое время исправной работы объекта t' примет значение меньше заданного t, т.е. g(t) = P(t' < t). Это выражение является интегральной функцией распределения случайной величины t, что позволяет записать

g(t) = F(t). (37)

Соответственно, исходя из второго следствия теоремы сложения вероятностей противоположных событий (p(t) + g(t) = 1) для вероятности безотказной работы объекта имеем

p(t) = 1- F(t).

(37)

Поскольку при неограниченном увеличении t функция вероятности отказа g(t) = F(t) стремится к 1, то обратная функция вероятности безотказной работы p(t) = 1 - F(t) стремится к 0, как это показано на рис 8.

Рис.8. График зависимости вероятностей безотказной работы p(t) и отказа g(t) объекта от наработки t

Если закон распределения случайной величины t задан в виде дифференциальной функции распределения f(t), то вероятность отказа за наработку t находится интегрированием этой функции в интервале от 0 до t

(38)

Поскольку пределами изменения t являются 0 и ∞, то .

Таким образом, зная конкретный вид и аналитическое выражение функции распределения исследуемой случайной величины t можно рассчитать вероятности g(t) и p(t) для любой требуемой наработки.

3.3.Сведения о законах распределения

Наиболее часто для характеристики надёжности теплоэнергетического оборудования и их систем используются экспоненциальный и нормальный законы распределения.

Экспоненциальный закон описывается дифференциальной функцией распределения вероятностей вида

(39)

где m_t - математическое ожидание; t - текущая переменная.

Среднеквадратичное отклонения СВ, распределяемой по этому закону, приблизительно равно её математическому ожиданию, т.е. σ_t ≈ m_t.

Интегральная функция экспоненциального закона находится следующим образом

.

(40)

Нормальный закон описывается дифференциальной функцией распределения вероятностей вида

(41)

Рабочую область функции принято ограничивать пределами t = m_t ± 3σ_t, т.к. вероятность отклонения случайной величины t за эти пределы пренебрежительно мала.

Интегральная функция нормального закона распределения описывается формулой

F(t) = Фo(z1) + Ф(z2),

(42)

где z – интеграл вероятности Лапласа-Гаусса при z = (t – m_t)/σ_t. Характерные виды кривых законов распределения CВ приведены на рис 9.

.

Рис. 9. Кривые дифференциальных функций при экспоненциальном (1) и нормальном (2) законах распределения

При оценках надёжности приведенные законы распределения применимы к конкретным техническим объектам. Так, экспоненциальному закону подчиняются объекты, для которых характерны внезапные отказы, а нормальному – объекты, теряющие работоспособность постепенно в результате износа. В качестве математического ожидания m при этом может служить наработка на отказ Т_o.

4. Определение количественных значений показателей надёжности

4.1. Сбор исходной информации

Надёжность и долговечность технических объектов обычно определяют на основании данных об отказах, полученных при их эксплуатации. Лишь в некоторых случаях для этого проводятся ускоренные испытания в заводских или лабораторных условиях.

Дата добавления: 2015-04-30