Элементы теории множеств

Роль математических методов при оценке и обеспечении надежности систем энергетики

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Математика неотделима от проблем теории надежности. Точные количе­ственные методы необходимы при расчете надежности СЭ на всех этапах ее развития и эксплуатации, при испытаниях на надежность. Без глубокого мате­матического анализа невозможно прогнозировать надежность изделия, объекта, системы при их длительной эксплуатации, что характерно для СЭ.

Представление о том, что каждый элемент СЭ за период эксплуатации проходит ряд последовательных изменений своих состояний, приводит к мно­жеству состояний самой СЭ и изменениях их с течением времени. Выделение подмножества состояний, принадлежность к которому считается отказом сис­темы, подчеркивает важность представлений теории множеств для описания простейших и одновременно центральных понятий теории надежности.

Элементы теории графов позволяют наглядно и достаточно просто пред­ставлять процесс изменений, происходящих в системах сложной структуры.

Теория надежности во всей ее широте и глубине основана на теории ве­роятностей, как для расчетов, так и для определения самих понятий.

С помощью методов математической статистики производится обработка первичного экспериментального материала, служащего фундаментом теорети­ческих обобщений, разрабатываются методы контроля качества массовой элек­тротехнической продукции-.

Основные понятия. Множество есть собрание (набор, совокупность) вполне различимых объектов, обладающих общим для всех их характеристиче­ским свойством, называемых элементами множества (множество элементов электрической системы, множество режимов работы электрооборудования, множество решений уравнения).

Множества, элементами которых также являются множества, называются классом или семейством множеств.

Если x – элемент множества A, это обозначается как x Î A, где Î – сим­вол отношения принадлежности. Для обозначения того, что x не является эле­ментом множества A, применяют символы Ï или .

Два множества равны, если они содержат одни и те же элементы:

,

где " – квантор общности – символ, который читается как «при любом x...» или «для всех x...»; «– символ эквивалентности;: – знак, соответствующий предикату «выполняется»; тому же предикату соответствует символ |.

Из определения равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несущественен. Множества {3,4,5,6} и {4,5,6,3} представляют собой одно и то же множество. В множестве не должно быть неразличимых элемен­тов. Запись {2,3,5,2,7} некорректна и должна быть заменена на {2,3,5,7}.

Подмножеством множества A называется разбиение множества A по некоторым дополнительным признакам, отличающим элементы подмножества B от остальной части множества A. Для любого x утверждение «x принадлежит B» влечет за собой утверждение «x принадлежит A», что запишется как

,

где ® – символ следствия (импликации), означающий «влечет за собой».

Запись B Ë A или означает, что множество B не является подмноже­ством множества A.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым Æ. Оно явля­ется подмножеством любого множества.

Если элементами множества B являются и элементы множества A, то го­ворят, что B содержится (включается) в A и обозначается как B Í A, где Í – символ отношения включения. В этом случае B является подмножеством мно­жества A. Если A содержит и другие элементы, кроме элементов из B, то ис­пользуют символ отношения строгого включения: B Ì A.

Связь между символами Í и Ì определяется выражением

.

Собственным подмножеством A называется множество B, если B Í A и B ¹ A или B Ì A.

Множество, содержащее все элементы, которые могут встретиться при проведении конкретного исследования, называется пространством.

Способы задания множеств. Множество может быть задано различны­ми способами конструирования:

· прямым перечислением элементов, то есть в виде списка или таблицы (множество деталей (элементов) какой-либо системы, устройства);

· указанием общего свойства его элементов (множество рабочих мест, множество трансформаторов, множество выключателей, множество линий электропередачи).

Переход от прямого перечисления элементов к указанию общего свойства называют процессом свертывания. Если основными элементами электротехнического устройства являются: сердечник, обмотки, масло, изоляторы, расшири­тель, корпус и т.д., его можно отнести к множеству трансформаторов.

Надежным способом точно описать свойства элементов данного множе­ства служит задание распознающей (разрешающей) процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает он данным свойством и, следователь­но, является элементом данного множества или нет. Например, распознающей процедурой при конструировании множества кабельных линий будет задание их типа, номинальных тока и напряжения, длины, способа прокладки, условий эксплуатации. Множество всех объектов, обладающих свойством H(x) обозна­чают как { x |H(x)} или { x:H(x)}.

При задании множеств могут быть поставлены следующие задачи:

1. Из данного множества объектов посредством распознающей процеду­ры требуется выделить подмножество. Например, из множества всех выключа­телей, выделить подмножество выключателей, напряжением 10 кВ; при обра­ботке результатов социологического обследования выделить определенную ка­тегорию пользователей какой-либо услуги.

2. Из данной совокупности множеств требуется получить новое множест­во, путем объединения всех элементов этих множеств. Например, если объеди­нить множества всех синхронных двигателей, асинхронных двигателей и дви­гателей постоянного тока, то получим новое множество – электродвигатели.

Отличают конечные и бесконечные множества, счетные и несчетные. В конечном множестве число его элементов конечно, то есть, существует нату­ральное число N, являющееся числом элементов множества. Конечное множе­ство всегда ограничено, то есть, существует такое число М, что для любых x_i Î X и x_j Î X имеет место d (x_i, x_j) £ M, где d (x_i, x_j) – «расстояние» между любыми двумя элементами x_i, и x_j, этого множества. Если бесконечное множест­во возможно привести в соответствие с натуральным рядом чисел, его называ­ют счетным. Каждое несчетное множество бесконечно. Несчетное множество может содержать счетные подмножества.

Примерами различных типов множеств являются:

· множество точек графика непрерывной функции – бесконечное, несчетное;

· множество выключателей электрической системы – конечное, счетное;

· множество возможных решений, принимаемых при управлении проектом – конечное, счетное;

· множество режимов электропотребления крупного промышленного объекта при наличии аналоговых регуляторов нагрузки – бесконечное, несчетное;

· реальное множество режимов электропотребления того же объекта, учитываемое в конкретных задачах, – конечное, счетное.

Следует отметить, что и многие задачи, решаемые при анализе СЭ, опе­рируют с конечными счетными множествами.

Если множество задано описательным способом, вводятся понятия верх­ней и нижней границ (граней). Верхней границей множества S является элемент с, такой, что для любого x Î S имеет место x £ c. Нижней границей множества S является элемент с такой, что для любого x Î S имеет место x ³ c.

Точной верхней границей или супремум множества S, обозначаемой sup S, называют верхнюю границу, которая не превосходит любую другую верхнюю границу. Точной нижней границей или инфинумом множества S, обозначаемой inf S, называют нижнюю границу, не меньшую любой другой нижней границы.

Если B Í A,то inf B ³ inf A; sup B £ sup A.

Операции над множествами. Основными операциями, производимыми над множествами, являются объединение, пересечение, разность, дополнение, декартово произведение.

Объединением множеств A È B называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: x Î { A È B } тогда, когда x Î A или x Î B и не исключено, что одновременно x Î A и x Î B. Число элементов в объединении не обязательно равно сумме элементов объединяемых множеств и может быть меньше ее. Например, A = {1,2,3}; B = {2,3,4}. A È B = {1,2,3,4}.

Пересечением множеств A Ç B называется множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств: x Î { A Ç B }, тогда, когда x Î A и одновременно x Î B. Для обозначения операции пересечения используют и знак &.

Операции объединения и пересечения обладают свойствами:

коммутативности: A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;

ассоциативности:(A È B) È C = A È (B È C); (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C);

дистрибутивности: A È (B Ç C) = (A È B) Ç(A È C);

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

идемпотентности «закон тавтологии»: A È A = A; A Ç A = A;

совместимости: когда A È B = B в том и только в том случае, если A Ç B = B, то есть, B = A;

поглощения: A È (A Ç B) º A; A Ç (A È B) º A.

Непересекающиеся множества образуют пустое множество Æ.

Соотношение X Ç I = X означает, что множество I содержит все элемен­ты множества X. Соотношение X È I = I представляет множество, в которое входят как все элементы множества X, так и все элементы множества I. Множе­ство, удовлетворяющее этим условиям называется универсальным.

Разностью множеств A \ B называется множество всех элементов A, не принадлежащих B: A \ B = $ x:{ x Î A; x Ï B }, где $ – квантор существования, который читается как «существует такое x, что...». Разность множеств строго двухместна, то есть, определена только для двух множеств и A \ B ¹ B \ A.

Если рассматриваемые множества являются подмножествами множества C, то может быть определена операция дополнения. Дополнением множества A называется множество Ā, состоящее из элементов, не содержащихся в множе­стве A: Ā = { C \ A }. Иногда дополнение обозначают как Ø: Ø A = { C \ A }.

Для пояснения некоторых свойств операций над множествами и различ­ных соотношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна, на ко­торых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокуп­ностей точек на плоскости (рис. 2.1).

Пример. Для обеспечения потребителей требуемым количеством электро­энергии при заданных показателях качества, надежности и экономичности должны выполняться условия, определяемые множеством возможных режимов функционирования системы электроснабжения: при нормальной эксплуатации – { V ₁}; при условиях, отличающихся от нормальных, но допустимых – { V ₂}; при недопустимых условиях – { V ₃}. Множества состояний, обеспечивающих качество, надежность и экономичность, обозначаются как {К}, {Н}, {Э}.

Решение. Нормальные режимы работы характеризуются состояниями, соответствующими области, где одновременно выполняются условия качественного, надежного и экономичного электроснабжения: V ₁ = {Э Ç К Ç Н}. Режимы, отличающиеся от нормальных, можно интерпретировать объединением областей, в которых допустима работа потребителей, исключив из нее нормальные режимы: V ₂ = {(Э Ç К) È (Э Ç Н) È (К Ç Н) \ (Э Ç К Ç Н)}. Недопустимые ре­жимы: V ₃ = {(Э È К È Н) \ (Э Ç К) È (Э Ç Н) È (К Ç Н)}.

Рис. 2.1. Диаграммы Эйлера-Венна для иллюстрации соотношения B Ì А – а); и операций: A È B – б), A Ç B – в), A \ B – г), Ā = { C \ A } – д)

Пример. На промышленном предприятии 92 подстанции. При прохождении суточных максимумов нагрузки производится ее снижение путем отключения части электроприемников. В течение квартала отключение нагрузки, суммарной мощностью 100 кВт проводилось на 47 подстанциях, 200 кВт – на 38, 300 кВт – на 42. По условиям технологического процесса производства в ряде случаев требовалось отключить нагрузку на двух и даже на трех подстанциях. При этом отключения 100 и 300 кВт проводились на 31 подстанции; 100 и 200 кВт – на 28; 200 и 300 кВт – на 26; 100, 200 и 300 кВт одновременно – на 25 подстанциях. Сколько подстанций не были затронуты отключениями?

Решение. Элементарные операции над множествами позволяют выполнить следующие расчеты:

.

Прямым декартовым произведением множеств A и B называется множество A × B всех упорядоченных пар (a, b), таких, что a Ï A, b Ï B.

Например, если A = { a, b }, B = { c, d, e), то A × B = { ac, ad, ae, bc, bd, be }. Если A и B – отрезки вещественных осей X и Y, то A × B изобразится заштрихованным прямоугольником (рис. 2.2).

Декартово произведение не обладает коммутативным (переместитель-ным) свойством: A × B = B × A.

Рис. 2.2. Геометрическая иллюстрация декартова произведения множеств

Отношения на множествах. Существуют неполные предложения – предикаты: «меньше, чем...», «включено в...», «входит в состав...», которые образуют отношения на множествах. Математическое отношение – правило, связывающее два или более символических объекта.

Важнейшим в приложениях является класс бинарных отношений, то есть отношений между двумя объектами. Говорят, что на множестве M определена бинарная алгебраическая операция,, если указан закон R, по которому любой паре элементов a, b Î M, взятых в определенном порядке, однозначно ставится в соответствие некоторый элемент c Î M.

Если объекты X и Y находятся в отношении R, это записывается как xRy.

Задание отношения равносильно заданию характеристической функции, равной единице, если отношение существует, и нулю, если не существует. При этом часто используют матричный способ задания отношений.

Матрица бинарного отношения на множестве M = { a ₁, a ₂,…, a _m} – это квадратная матрица C_m порядка m, в которой элемент c_ij определяется как

.

Пример. Задано множество электроприемников M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, которые могут находиться во включенном состоянии в зависимости от особенно­стей режима работы технологического объекта. Требуется построить матрицу отношения меньше или равно (£).

Решение.

.

Матрица отношения больше или равно (³) аналогична, только нули и единицы, за исключением главной диагонали, меняются местами. Матрица отношения равенства (=) единицы содержит только на главной диагонали.

При перестановке членов данного отношения yRx, получаем обратное отношение xR ^-1 y. Оно выполняется для коэффициентов трансформации трансформаторов, подчиненности управляющих и управляемых структур.

Если выполняются отношения равенства, подобия, одинакового функционального назначения, условий эксплуатации, то для любого объекта x справедлива запись xRx. Такое отношение называется рефлексивным.

Если для любых X и Y из xRy следует yRx, то отношение называется симметричным. Это отношения равенства (=) или неравенства (¹).

Если отношение рефлексивно xRx и симметрично xRy «yRx, его называют отношением толерантности x Θ y.

Если для любых X, Y, Z из xRy и yRz следует xRz, то отношение называется транзитивным. Отношение транзитивности может выполняется для замкнутых сетей различного рода коммуникаций.

Из множества всех отношений выделяется класс отношений одновременно рефлексивных, симметричных и транзитивных. Такие отношения называются отношениями эквивалентности. Эквивалентность – частный случай толе­рантности. Символ отношения эквивалентности – «º». Смысл его состоит в ус­тановлении некоторого сходства, родства между элементами (объектами) по определенному признаку. Отношение эквивалентности должно выполняться для связанных в сеть элементов, подчиняющихся одному центру, выполняю­щих одинаковые функции и потребляющих однородные ресурсы.

На основании рассмотренных отношений, рассмотрим отношение порядка (предпочтения) R. Оно используется при сравнении и выборе различных ва­риантов решений, при решении задач упорядочения каких-либо объектов или их параметров. Отношения £ и ³ являются отношениями нестрогого порядка, а отношения < и > отношениями строгого порядка. Нестрогому порядку можно сопоставить строгий порядок <, определяемый следующим образом: тогда и только тогда, когда x £ y и x ¹ y. Отношению строгого порядка < можно сопоставить отношение нестрогого порядка £, тогда и только тогда, когда x < y или x ¹ y. Таким образом, по нестрогому порядку можно найти соответствующий строгий порядок и наоборот.

Множество, на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если сравнимы любые два его элемента и частично упорядоченным в противном случае. Например, отношение подчиненности на предприятии (в фирме) задает строгий частичный порядок, при условии, что работники разных подразделений являются несравнимыми элементами всего множества работников.

Описать отношение предпочтения – значит, каждому исходу x поставить в соответствие такое действительное число v (x), что xRy «v (x) ³ v (y). То есть, x не менее предпочтителен, чем y тогда, когда значение функции v для x – v (x) не меньше, чем для y, v (y). Равенство v (x) = v (y) соответствует равноценности исходов, а неравенство v (x) > v (y) большей предпочтительности исхода x. Такое представление возможно в том случае, когда любые два исхода сравнимы по отношению предпочтения R; отношение R транзитивно, т.е. из xRy и yRz следует xRz (предпочтения согласованы).

Пример. В таблице указаны номера подстанций и потребляемая подклю­ченными к ним потребителями мощность. Является ли на множестве A = {1,2,3,4,5} отношение «меньше по мощности» отношением порядка?

№ п/ст
S, кВА

Ответ: не является, поскольку на заданном множестве отсутствует однозначное отношение предпочтения (S ₁ < S ₂ > S ₃ и т.д.).

Отношение строгого порядка является частным случаем отношения доминирования, (символ >>). Между элементами множества X имеет место отношение доминирования, если эти элементы обладают следующими свойствами: 1) никакой элемент не может доминировать сам над собой, т.е., утверждение: x >> x – ложно; 2) в каждой паре элементов x, y только один доминирует над другим, то есть утверждение: x >> y и y >> x – является взаимоисключающим.

В отношении доминирования свойство транзитивности не имеет места, поскольку, если x >> y, а y >> z, это не значит, что x >> z.

Множества, на которых кроме операций заданы отношения, называются алгебраическими системами. Частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.

Отображения множеств. Как средство исследования, отображение дает возможность заменять изучение соотношений между элементами множества A изучением соотношений между элементами множества B, что оказывается существенно проще и нагляднее. Отображением множества A в множество B называется такое соответствие, которое любому x_i Î A сопоставляет по крайней мере один y Î B. Если каждому элементу x_i Î A сопоставляется единственный элемент y Î B, отображение является однозначным. Если между элементами двух множеств возможно установить взаимно однозначное соответствие, они называются эквивалентными. Элемент y, сопоставляемый x, называется образом x. Множество всех элементов x_i, которым соответствует y, называется прообразом x в A и обозначается как j^-1(y). Множество A называется об ластью определения отображения, а B – областью значений отображения (рис. 2.3).

Отображение A в B называется сюръективным, если любой элементу y Î B имеет хотя бы один прообраз: x ₁j y ₁; x ₂j y ₁; x ₃j y ₂; x ₄j(y ₂ y ₃), (рис. 2.3, а). Другими словами – в каждый элемент y Î B входит, по крайней мере, одна дуга.

Отображение A в B называется инъективным, если для любого y Î B его прообраз содержит не более одного элемента, либо вообще не имеет прообраза, то есть, в каждый элемент y Î B входит, самое большее, одна дуга: x ₁j(y ₁ y ₂); x ₂j y ₃; x ₃j y ₄; j^-1 y ₅ = Æ; (рис. 2.3, б).

Рис. 2.3. Отображения множеств

Отображение называется биективным, если оно одновременно сюръективно и инъективно . Биективность отображения j означает, что , то есть, в каждый элементу y Ï B входит одна и только одна дуга, что однозначно определяет единственное значение x Ï A и однозначно устанавливает соответствие между множествами A и B: x ₁j y ₁; x ₂j y ₂; x ₃j y ₃; x ₄j(y ₄ y ₅) (рис. 2.3, в).

Если элементы множества x Ï X представляют собой состояния динамической системы, то отображение j(x ₁) рассматривается как множество состоя­ний, в которые система может перейти из данного состояния. В этом случае ис­пользуется термин «преобразование состояния».

При отображении j соответствие между X и Y записывается как y = j(x), а отображению соответствует запись j: A®B. Часто элемент x называют аргументом или переменной, a y – значением функции j. Если для каждого элемента x имеется один элементу вида (x, y) Î j, (взаимно однозначное соответствие между A и B) то функция называется биективной или полностью (всюду) определенной, в противном случае – частично определенной (недоопределенной).

Пример. Сопоставим с декартовым произведением двух множестве A = { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄} и B = { y ₁, y ₂, y ₃} прямоугольную решетку, узлы которой однозначно соответствуют элементам декартова произведения.

На рис. 2.4 подмножеству декартова произведения A × B соответствуют помеченные элементы. На рис. 2.4, а одному значению аргумента x ₄ соответствует более одного значения y:(y ₁, y ₂); на рис. 2.4, в значение x ₃ не определено.

Рис. 2.4. подмножество декартова произведения множеств A × B: а) не являющееся функцией; б) являющееся полностью определенной функцией; в) частично определенной функцией

Соответствия между множествами. Элементы множеств X и Y могут сопоставляться друг с другом, образуя пары (x, y). Если способ сопоставления определен – для каждого x Î X указан элемент y Î Y, с которым сопоставляется x, то между множествами X и Y установлено соответствие. При этом не обязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы. Для задания соответствия необходимо: множество X, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества; множество Y, с элементами которого сопоставляются элементы первого множества; множество Q Í X × Y, определяющее закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, перечисляющее все пары (x, y), участвующие в сопоставлении. Таким образом, соответствие, обозначаемое q, представляет собой тройку множеств q = (X, Y, Q), в которой Q Í X × Y. Первую компоненту – X называют областью отправления соответствия, вторую – Y – областью прибытия соответствия, третью Z – графиком соответствия.

С каждым соответствием неразрывно связаны еще два множества: множество P ₁ Q, называемое областью определения соответствия, в которое входят элементы множества X, участвующие в сопоставлении и множество P ₂ Q, называемое областью значений соответствия, в которое входят элементы множества Y, участвующие в сопоставлении. Если (x, y) Î Q, то говорят, что элемент y соответствует элементу x. Геометрически такое соответствие изображается стрелкой, направленной от x к y.

Пример. В системе электроснабжения предприятия имеются три подстанции. Две из них α и β связаны единой сетью, обеспечивают основной технологический процесс и работают в две смены. Третья γ – маломощная, обеспечивает электроснабжение вспомогательных производств. Подстанция β находится на профилактическом обслуживании и на момент решения настоящей задачи отключена. В штате предприятия имеются три дежурных электрика a, b, c, из которых c находится в отпуске. Распределение дежурных электриков по подстанциям представляет собой соответствие, одним из возможных видов которого является следующее: q = ({ a, b, c },{α, β, γ},{(a, α),(a, γ),(b, a)}). Геометрически это соответствие изображено на рис. 2.5, а). Областью определения его является множество P ₁ Q = { a, b }, а областью значений – P ₂ Q = {α, γ}.

Рис. 2.5. Геометрическое представление прямого а) и обратного б) соответствия

Для каждого соответствия q = (X, Y, Q), Q Í X × Y существует обратное соответствие, когда определяются x Î X, с которыми сопоставляются элементы y Î Y. Обратное q соответствие обозначается q ^-1 = (X, Y, Q ^-1), где Q ^-1 Í X × Y. В предыдущем примере обратное соответствие – закрепление подстанций за каждым электриком: q ^-1 = {α, β, γ}, { a, b, c }, },{(α, a),(α, b),(γ, a)})., что геометрически соответствует изменению направления стрелок (рис. 2.5,6).

Попарное соответствие между элементами двух множеств X и Y с m и, соответственно с n элементами называется взаимно однозначным соответст­вием. Их число можно определить, если m = n. Первый элемент множества X может быть сопоставлен с любым из n элементов множества Y. Второй элемент того же множества X может быть сопоставлен с любым из оставшихся n -1 элементов множества Y и т.д. Последний элемент множества X может быть сопоставлен с единственным оставшимся элементом множества Y. Тогда число N взаимно однозначных соответствий для двух множеств с n элементами будет

.

Число k -элементных подмножеств множества X, содержащего n элементов, при n > k, определится числом сочетаний из n элементов по k:

.

Общее число L всевозможных подмножеств n -элементного множества X вычисляется по формуле

.

При этом числа и определяют пустое множество Æ и само множество X. Множества Æ и X называют несобственными подмножествами множества X. Все остальные – собственными.

Пространство состояний. Любая техническая система функционирует во времени. В основе понятия времени лежит счетное множество T Í R с элементами t_i – моментами времени, которое называют множеством моментов времени. Поскольку время имеет направление, множество T – упорядоченное, так как если t ₁ Î T, t ₂ Î T и t ₂ > t ₁. то момент t ₁предшествует моменту t ₂. Следовательно, функция времени определяет отображение j множества моментов времени T на множество вещественных чисел R:j: T ® R.

Элементами отображения j будут пары (t, x), обозначаемые также через x (t), где t Î T, x Î R. Каждая такая пара определяет значение функции в момент t и называется событием или мгновенным значением функции. Полная совокупность пар (t, x), то есть значений x (t) для всех t Î T и представляет собой функцию времени.

Если T = R (t – любое вещественное значение от -¥ до +¥), то функцию x (t) называют функцией с непрерывным временем. Это системы ЭЭС и СЭС, системы аналогового регулирования и управления. Например, функция, изменения напряжения в сети переменного тока: u (t) = U sin(w t + j).

При проведении конкретных исследований удаленные моменты времени прошлого и будущего не представляют особого интереса. Поэтому производится сужение x (t) на ограниченный интервал t ₁ < t £ t ₂, который считают полузакрытым (t ₁, t ₂]. Полузакрытые интервалы удобны тем, что допускают их последовательное сочленение. Например, если интервал (t ₁, t ₂] разбить моментом t на два: (t ₁, t ] и (t, t ₂], то не будет сомнений, к какому интервалу отнести t.

Реально множество T является конечным и (или) счетным, то есть, представляется натуральным рядом чисел. В этом случае система функционирует в дискретном времени. Элементы множества T называют тактами. К таким системам относятся все контактные схемы, содержащие электрические аппараты управления режимами электроснабжения, вычислительные устройства ЭВМ, ряд систем передачи данных, связи и сигнализации.

Не исключены случаи, когда множество Т имеет смешанный дискретно-непрерывный характер: на одних интервалах моменты t Î T располагаются в изолированных точках, а на других – заполняют их целиком.

В каждый момент t_i Î T система находится в одном из состояний z_i (t_i). Множество состояний обозначим Z. Каждое состояние z_i описывается набором числовых характеристик z ₁, z 2,..., z_m,таких, что z_i Î Z_j, где Z_j – заданные мно­жества. Если Z_j (j = 1,2) – множества точек z_i на числовых осях, то декартово произведение , по аналогии с рис. 2.2, рассматривается как множество точек плоскости; если – как множество точек трехмерного пространства; когда элементы z_i множеств Z_j не только числа, а и характеристики или объекты любой природы (векторы, матрицы, функции), элементы множества имеют координаты z ₁, z 2,..., z_m.

В отличие множества состояний системы Z, множество как прямое произведение элементарных осей называют пространством состояний системы. Следует учитывать, что множество элементов пространства состояний системы представляет множество всех упорядоченных сово­купностей z ₁, z 2,..., z_n, в том числе и таких, которые могут и не принадлежать множеству состояний Z (заштрихованная область на рис. 2.6), поскольку не яв­ляются состояниями системы по условиям ее функционирования или каким-либо другим причинам. Поэтому в общем случае Z Ì . В ряде случаев анализируется пространство T ´ ,элементами которого являются упорядоченные пары t, . Такое пространство называется фазовым пространством системы.

Рис. 6. Множество состояний Z и пространство состояний системы

Пространство состояний системы может быть определено толерантным пространством –парой (X,Q ), состоящей из множества X,с заданной на нем толерантностью Q. В толерантных пространствах отношению Q удовлетворя­ет условие, определяющее положение любых пар элементов из X «находиться друг от друга на расстоянии не более e > 0». Например,1) X – поле зрения гла­за или прибора. Q – разрешающая способность – условие того, что любые пары точек неразличимы в поле зрения; 2) X – результаты измерений. Q – условие того, что пара результатов находится в пределах ошибки измерений.

Если (x, y) Î X имеют общий образ в Y, то есть, если j(x) Ç j(y) ¹ 0, то путем геометрического представления отображения множеств наглядно иллю­стрируется задание отношения x Q y и определяется пространство толерантно­сти (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Задание отношения толерантности и определение пространства толерантности

Пространство входных, выходных и управляющих сигналов. На вход системы могут поступать входные сигналы x Î X,где X – множество входных сигналов системы. Входной сигнал, поступающий в систему в момент t Î T,обозначается x (t). Множеству X принадлежит и пустой сигнал x _Æ, означающий отсутствие сигнала в момент t, если x (t)= x _Æ. В общем случае входной сигнал x описывается набором характеристик x_i Î X_i, i = 1, 2,..., m,где X_i –заданные множества. Прямое произведение называется пространст­вом входных сигналов.

Рассмотрим отображение x = L (t), сопоставляющее каждому t Ì T неко­торый сигнал x Î X (отображение T → X). Обозначим через T^L множество мо­ментов времени, T^L Ì T, такое, что для любого t ' Î T^L справедливо L (t ') ¹ x _Æ. Отображение x = L (t)называется входным процессом системы, а совокупность упорядоченных пар (t ', x)для всех t ' Î T^L,где x = L (t '),– входным сообщением, соответствующим входному процессу L (t)с обозначением (t,x_L) _T.

Чтобы задать конкретный входной процесс x = L (t),достаточно указать соответствующее ему входное сообщение (t,x_L) _T,так как отображение x = L (t)определено на всем T и для t Î (T \ T^L)имеет место x (t) = x _Æ.

После переработки входных сигналов система способна выдавать выход­ные сигналы y Î Y, где Y – множество выходных сигналов системы. Выходной сигнал, выдаваемый системой в момент t Î T,обозначается y (t). В общем слу­чае он описывается набором характеристик y_i Î Y_i, i = 1, 2,…, r,где Y_i –заданные множества. Прямое произведение ,. называется простран­ством выходных сигналов. По аналогии с входным процессом x = L (t) и вход­ным сообщением (t,x_L) _T, выходной процесс определяется как y = N (t), а вы­ходное сообщение –(t,y_N) _T.

Развитие средств управления сложными системами требует рассмотрения управляющих сигналов g Î G, где G – множество управляющих сигналов сис­темы. Управляющий сигнал, поступающий в систему в момент t Î T, обозна­чается как g (t). Управляющий сигнал gописывается набором характеристик g_i Î G_i, i = 1, 2,…, k,где G_i – заданные множества. Прямое произведение называется пространством управляющих сигналов.

Отображение g = M (t),сопоставляющее каждому t Ì T некоторый сиг­нал g Î G (отображение T → G),называется управляющим процессом системы. Если T^M множество моментов времени T^M Ì T,такое, что для любого t ' Î T, справедливо M (t ') ¹ x _Æ,то совокупность упорядоченных пар (t ', g)для всех t ' Î T^M где g = M (t '), – называют управляющим сообщением, соответствую­щим управляющему процессу M (t)с обозначением (t,g_M) _T.

Иногда входные и управляющие сигналы рассматриваются как элементы единого множества, соответствующие точкам пространства обобщен­ных входных сигналов . Полный набор ко­ординат содержится в том случае, если в момент t в систему одновременно по­ступают входной сигнал x и управляющий g. При разновременном поступлении сигналов обобщенный входной сигнал имеет вид либо –входной сигнал, либо .

Совокупность упорядоченных троек (t, x, g), соответствующих всем t Ì Т,где x = L (t), a g = M (t), называется обобщенным входным сообщением или (x, g)-сообщением и обозначается (t, x_L, g_M). Очевидно, что (x, g)-сообщение определяется отображением T → X´G.

Дата добавления: 2015-04-30