Элементы теории вероятностей 1 страница

Случайные события. Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных явлений (собы­тий). Для количественной оценки различных показателей надежности СЭС ис­пользуют понятия случайного события, случайной величины и случайного про­цесса. Под событием понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Например: отключение ВЛ при грозовом разряде; совпадение пиков сварочной нагрузки; отказ выключателя при отклю­чении короткого замыкания; восстановление какого-либо элемента электриче­ской сети за определенный промежуток времени; отказ действия РЗ и т.д.

Все события делятся на: достоверные, невозможные, случайные.

Достоверным называют событие A, которое обязательно произойдет, ес­ли осуществляется совокупность условий a. Например, при наличии напряже­ния и исправной электрической лампы включение исправного выключателя (совокупность условий a) приводит к ее загоранию (происходит событие A).

Невозможным называют событие B, которое заведомо не произойдет, ес­ли будет осуществлена совокупность условий a. Лампа не загорится, если при совокупности условий S известно, что в цепи перегорел предохранитель.

Большинство процессов, происходящих в ЭЭС вероятностные. Это ре­зультат воздействия большого числа различного рода факторов, которые опре­деляют возможность возникновения того или иного явления. Случайным назы­вают событие C, которое при осуществлении комплекса условий a может либо произойти, либо не произойти. Внешние воздействия на систему с электриче­ской лампой зависят от многих факторов и их количественных характеристик. Поэтому при осуществлении совокупности условий a событие C – ее загорание или не загорание может рассматриваться как случайное. Произойдет или не произойдет случайное событие, определяется совокупностью причин, которые в большинстве случаев не удается полностью проанализировать.

Например, отказ элемента СЭС есть случайное событие, которое может привести к нарушению электроснабжения, и повлиять на нормальную работу потребителя.

Любой мыслимый исход любого опыта полностью описывается одним и только одним элементарным событием, совокупность которых представляет пространство элементарных событий. Эти понятия эквивалентны понятиям классической теории множеств.

Фиксированный комплекс условий а рассматривается как некоторая сис­тема S событий A, B, C,..., каждое из которых должно при каждом осуществле­нии комплекса условий a произойти или не произойти. Между событиями сис­темы S существуют известные из теории множеств соотношения.

1) Если при каждом осуществлении комплекса условий a, при котором происходит событие A, происходит и событие B, то A влечет за собой B. A Ì B. Если B É A, то событие B является следствием события A.

2) Если при каждой реализации комплекса условий a наступают или не наступают оба события A и B, то они равносильны (тождественны) A = B. Все достоверные события равносильны между собой. Все невозможные события тоже равносильны. Пример. Отказ любого элемента последовательной цепи приводит к отказу системы.

3) Объединением (суммой) множества событий A_k (k = 1,2,...) называется событие , которое осуществляется в том и только в том случае, когда к осуществляется хотя бы одно из событий A_k. Пример. Отказ любого элемента цепи рис. 2.33,а приводит к отказу системы (событие C). Оно осуществляется при наступлении хотя бы одного из событий: события A – отказ трансформато­ра T (элемент 1) или события B – отказ выключателя Q (элемент 2). Отказ сис­темы есть сумма событий C = A + B.

4) Пересечением (произведением) множества событий A_k (k = 1,2,...) назы­вается событие , осуществление которого равносильно осуществлению всех событий A_k,. Пример. Отказ системы рис. 2.33, б (событие C) происходит при наступлении двух событий одновременно: A – отказ первого трансформа­тора T 1 (элемент 1) и B – отказ второго трансформатора Т2 (элемент 2).

Рис. 2.33. Иллюстрация суммы и произведения событий

5) Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в событии A, называется противоположным A (отрицанием A) и обозначается Ā. Для противоположных событий одновременно выполняются два соотноше­ния: A + Ā = U; A ∙ Ā = V, где U – достоверное, а V – невозможное событие.

6) События A_k (k = 1,2,...) попарно несовместны (взаимно исключают друг друга), если никакие два из них не имеют общего элементарного события (общей точки) A ₁ ∙ A ₂ = V, A ₁ ∙ A ₃ = V, …, A_k ∙ A_k­1 = V. Если события A и B несовме­стны, то наступление события A влечет за собой не наступление события B A, и наоборот: , то есть, A ∙ B = V. Пример. В один и тот же момент времени трансформатор может находиться только в одном из режимов: испра­вен и отключен от сети; работает на холостом ходу; работает с номинальной за­грузкой; работает в перегрузочном режиме; находится в состоянии отказа; на­ходится в состоянии ремонта.

7) События A и B независимы, если вероятность события A не изменяется от того, произошло или не произошло событие B и наоборот.

8) События A_k (k = 1,2,...) образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти при каждом осуществлении ком­плекса условий a: A ₁ + A ₂ + … + A_k = U.

При относительно небольшом числе событий (k ≤ 5) рассмотренные тео­ретико-множественные выражения иллюстрируются диаграммами Венна. По ним можно непосредственно выводить соотношения между событиями, комби­нируя и представляя в определенном масштабе различные части плоскости. Для этого необходимо, чтобы k кривых, соответствующих каждому из A_k событий разбили плоскость на 2 ^k частей так, чтобы нашлась область, соответствующая любому событию вида A ₁, A ₂,…, A_k; Ā ₁, A ₂,…, A_k; Ā ₁, Ā ₂, A ₃,…, A_k;…; Ā ₁, Ā ₂,…, Ā_k.

Классическое определение вероятности. Случайные события обладают степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Для некоторых из них сразу можно решить, какое более, а какое менее возможно. Чтобы такие события сравнивать между собой, нужно с каждым событием связать число, ко­торое тем больше, чем более возможно событие (вероятность).

Вероятность события – численная мера степени объективной возможно­сти этого события. Элементарные исходы, в которых интересующее нас собы­тие наступает, называются благоприятными. Вероятность события A оценива­ют по относительной доле благоприятных событий. Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих ему исходов m к общему чис­лу всех равновозможных несовместных исходов, образующих полную группу n, которое вычисляется по «классической формуле»:

.

Число благоприятных событий всегда заключено между 0 и n. Для невоз­можного события , для достоверного – . Поэтому вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0 ≤ P (A) ≤ 1.

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют наи­более употребительные формулы комбинаторики, связанные с подсчетом числа перестановок, размещений и сочетаний элементарных исходов.

Число возможных перестановок – комбинаций из n различных элементов, отличающихся только порядком их расположения, определяется как P_n = n! где n!= 1 ∙ 2 ∙ … ∙ n; по определению 0! = 1. Пример. Число возможных комбинаций расположения фаз A, B, C трехфазной ЛЭП при транспозиции рав­но P_n = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.

Число возможных размещений – комбинаций из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их поряд­ком, определяется как . Пример. Число сигналов, состоящих из двух комбинаций импульсов из 6 возможных, поступающих дис­петчеру ЭЭС, равно .

Число возможных сочетаний – комбинаций из n различных элементов по m, отличающихся хотя бы одним элементом, определяется как . Пример. Число сигналов, состоящих из 2-х разных, не повторяющихся импуль­сов из 6 возможных, поступающих диспетчеру ЭЭС, равно .

Размещения, перестановки и сочетания связаны равенством .

Пример. В РП установлено Q = 5 автоматических выключателей. Нор­мальная работа потребителей обеспечивается при их исправном состоянии. При монтаже РП выключатели выбирались из партии объемом k = 1000 штук, в ко­торой было k ₁ = 950 исправных выключателей и k ₂ = 50 неисправных (k ₁ + k ₂ = k). Найти: а) вероятность исправной работы РП (Q ₁ = 5); б) вероятность того, что в РП окажется два (Q ₂ = 2) неисправных выключателя (Q ₁ + Q ₂ = Q = 5).

Решение. а) Событие A – исправная работа РП. Оно осуществляется если все выключатели выбраны из числа исправных (Q ₁ = Q = 5). Общее число эле­ментарных событий – , а число событий, благоприятствующих событию A: . Тогда вероятность события A определится как

.

б) Событие A – среди Q = 5 установленных на РП выключателей Q ₂ = 2 оказались неисправными. Число событий, благоприятствующих событию A: . Общее число элементарных событий то же, что оп­ределенное ранее – . Вероятность искомого события A

.

Если произведена серия из n опытов, в каждом из которых могло поя­виться событие A, то частотой этого события называется отношение числа опытов, в которых оно появилось m, к общему числу произведенных опытов n:

.

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной ме­ре случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Например, число ежегодных повреждений ЛЭП при одинаковых усло­виях их эксплуатации может существенно отличаться. При увеличении числа опытов (периода наблюдений) частота события все более теряет свой случай­ный характер. Случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизи­роваться, «сходиться по вероятности», приближаясь с незначительными коле­баниями к некоторой средней, постоянной величине.

Математическую формулировку этой закономерности дал Я. Бернулли в теореме, представляющей простейшую форму закона больших чисел. Величина X_n сходится по вероятности к величине a, если при сколь угодно малом ε веро­ятность неравенства | X_n – a | < ε с увеличением n стремится к 1. При неограни­ченном увеличении числа опытов с практической достоверностью модно ут­верждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его веро­ятности в отдельном опыте: при n → ∞ вероятность P {| X_n – a |} < ε → 1.

Основные теоремы теории вероятностей. В большинстве задач на­дежности определяются вероятности не простых случайных событий, а слож­ных, являющихся комбинацией элементарных (простых). Оценка их вероятно­сти через известные значения вероятностей простых производится путем при­менения основных теорем, которые формулируются на основании понятий, свя­занных с элементарными случайными событиями.

Теорема сложения вероятностей. Суммой n событий называется слож­ное событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из n. Вероятность суммы n несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Если появление хотя бы одного из n несовместных событий является дос­товерным, то события A_i составляют полную группу несовместных событий, для которых выполняется соотношение . Сумма вероятностей противоположных событий: P (A) + P (Ā) = 1. Если события A и B совмест­ны, вероятность их суммы – Р (A + B) = Р (A) + Р (B) – Р (А ∙ В).

Вероятность суммы любого числа совместных событий:

,

которая выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному i; по два i, j; по три i, j, k и т.д.

Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, два, три и т.д., имеет вид:

Пример. Элементы K ₁ и K ₂ схемы электроснабжения рис. 2.34 резервиру­ют друг друга. При отказе одного из них происходит автоматическое переклю­чение на другой. Элемент T не резервирован. Для того, чтобы отказала система, нужно, чтобы одновременно отказали оба элемента К ₁ и K ₂ или элемент T. На­рушение электроснабжения (событие C) представляется в виде: C = K ₁ ∙ K ₂ + T, где K ₁ – отказ элемента K ₁; K ₂ – отказ элемента K ₂; T – отказ элемента T. Выра­зить вероятность события C через вероятности событий K ₁, K ₂, T.

Рис. 2.34.

Решение.

.

После преобразований:

.

Теорема умножения вероятностей. Введем понятия событий независи­мых, зависимых и условной вероятности события. Событие A называется неза­висимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, про­изошло событие B или нет и зависимым, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло ли событие B.

Пример. Отказ ЛЭП­1 и ЛЭП­2 разного напряжения, отходящих от раз­ных источников и питающих разных потребителей, – независимые события; ве­роятность короткого замыкания на ЛЭП зависит от грозовой деятельности; ве­роятность отказа оставшегося в работе трансформатора на двухтрансформаторной подстанции зависит от величины нагрузки; вероятность повреждения обо­рудования подстанции зависит от повреждаемости в присоединенной сети.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается P (A | B). Если события независимы, то P (A | B) = P (A).

Вероятность произведения независимых событий определяется как

.

Пример. Технологический процесс предприятия обеспечивают 3 электро­двигателя. Для каждого двигателя вероятность того, что он в данный момент работает, равна p = 0,6. Какова вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один электродвигатель?

Решение. В данный момент могут произойти три независимых события: A ₁ – работает любой из трех один, или A ₂ – любые два, или A ₃ – три двигателя. Если ни одно из этих событий не наступило, то говорят о совместном наступ­лении (произведении) противоположных событий Ā ₁, Ā ₂, Ā ₃ сумма вероятно­стей которых равна: P (A ₁ + A ₂ + A ₃) + P (Ā ₁ ∙ Ā ₂ ∙ Ā ₃) = 1. По теореме умножения

,

где q = 1 – р = 1 – 0,6 = 0,4. Искомая вероятность P (A) = 1 – q ³ = 1 – 0,4³ = 0,936. Эту же задачу можно решить с использованием теоремы сложения:

Однако следует учесть, что при большом количестве событий использо­вание ее приводит к более громоздким вычислениям.

Пример. Вероятность отказа элемента СЭС равна q. Для повышения на­дежности предусмотрено m резервирующих элементов. Определить, во сколько k раз увеличится надежность системы, если под надежностью понимать ВБР.

Решение. Вероятность того, что откажут все параллельные элементы (со­бытие A): . Вероятность того, что не откажет хотя бы один из параллельно работающих элементов (событие B): . Надежность одного элемента R = 1 – q. Искомая величина .

Если задана вероятность отказа элемента q, можно найти число резерв­ных элементов m, при котором вероятность отказа системы Q не будет превос­ходить заданную величину, т.е. q^m ≤ Q. Тогда необходимая кратность резерви­рования определяется как . Задавшись числом резервных элементов m, можно определить, какой должна быть надежность каждого из них .

При относительно малых вероятностях повреждений, характерных для элементов ЭЭС (для силовых трансформаторов q = 0,01), увеличение надежно­сти при двукратном m = 2 и трехкратном m = 3 резервировании составит

, .

Если при q = 0,01 вероятность отказа двухтрансформаторной подстанции Q = 0,001, то – необходимая кратность резерви­рования. То есть число резервных элементов m = 2, что соответствует боль­шинству СЭС. При заданной вероятности отказа системы Q = 0,001 и m = 2 до­пустимая вероятность отказа одного элемента , что подтверждает целесообразность не более чем двукратного резервирования.

Вероятность произведения зависимых событий равна произведению ве­роятностей этих событий, причем, вероятность каждого следующего по поряд­ку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

.

Пример. Вероятность отказа одного из трансформаторов в нормальном режиме работы (рис. 2.33, б) . Оставшийся трансформатор продолжа­ет работу в режиме перегрузки и вероятность его отказа . Какова вероятность отказа двух трансформаторов этой подстанции?

Решение. Второй трансформатор отказывает (событие B) при условии, что произошло событие A – отказ первого трансформатора. Вероятность совместно­го наступления этих событий P (C): P (C) = P (A) ∙ P (B | A) = 0,01 ∙ 0,015 = 0,00015.

Формула полной вероятности. По ней определяется вероятность события A, которое может произойти совместно с одним из событий, называемых гипо­тезой H ₁, H ₂,…, H_n образующих полную группу несовместных событий. Тогда

.

Пример. Работа крупного электродвигателя возможна при функциониро­вании двух вспомогательных двигателей, обеспечивающих смазку и охлажде­ние основного. При нормальной работе вспомогательных двигателей основной отказывает с вероятностью q _1,2, при работе только двигателя смазки – с вероят­ностью q ₁, при работе только двигателя охлаждения – с вероятностью q ₂; при отказе обоих вспомогательных электродвигателей, основной отказывает с веро­ятностью q ₀. Вероятность безотказной работы двигателя, смазки – p ₁, а охлаж­дения – p ₂. Найти вероятность безотказной работы основного двигателя.

Решение. Рассмотрим гипотезы: H _1,2 – работают оба вспомогательных двигателя; H ₁ – работает двигатель, обеспечивающий смазку основного; H ₂ – работает двигатель, обеспечивающий охлаждение основного; H ₀ – оба вспомо­гательных двигателя вышли из строя и не работают. Вероятности этих гипотез:

; ; ; .

Событие A – безотказная работа основного двигателя. Условные вероят­ности события A при выдвинутых гипотезах:

; ; ; .

По формуле полной вероятности получим:

.

Теорема гипотез (формула Байеса). Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса. Пусть имеется полная группа несовместных гипотез H ₁, H ₂,..., H_n. Вероятно­сти их до опыта известны и равны P (H ₁), P (H ₂),..., P (H_n). Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие A. Требуется определить вероятно­сти событий H ₁, H ₂,..., H_n после опыта. На основании теоремы умножения и формулы полной вероятности имеем

.

Пример. Пропускная способность канала связи в системах телемеханики зависит от появления ошибки внутри канала (рис. 2.35). На вход могут пода­ваться два сигнала x ₁ и x ₂.На выходе принимаются соответственно y ₁и y ₂.40 % времени передается сигнал x ₁ и 60% времени – сигнал x ₂. Вероятность безошибочной передачи сигнала x ₁как y ₁равна 0,75. Вероятность того, что входной сигнал x ₁ будет ошибочно принят как у₂, равна 0,25. Аналогично, ве­роятность того, что сигнал, переданный как x ₂, будет принят, как y ₂ и y ₁равна соответственно 0,9 и 0,1. При заданных условиях получен выходной сигнал y ₁. Какова вероятность того, что исходный сигнал был x ₁?

Рис. 2.35. Схема канала связи

Решение. Вероятности гипотез: P (H ₁) = 0,4; P (H ₂) = 0,6. Условные веро­ятности события: «получен сигнал y ₁ » равны: P (y ₁ |H ₁) = 0,75; P (y ₁ |H ₂) = 0,25.

.

Повторение испытаний. Формула Бернупли. Вероятность одного сложно­го события B, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит с од­ной и той же p вероятностью k раз и не наступит n – A раз с вероятностью q = 1 – p по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p^k ∙ q^n­k. Таких событий может быть столько, сколько сочетаний из n элементов по k, т.е. . Так как эти события несовместны, по теореме сложения вероят­ностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных событий. Поскольку вероятности этих событий одинаковы,

.

Пример. Вероятность нормального расхода электроэнергии потребителем в течение суток, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит норму.

Решение. q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25 – вероятность перерасхода.

.

Если n велико, то искомая вероятность определяется приближенно в со­ответствии с локальной теоремой Лапласа

,

где ; .

Имеются таблицы [19], соответствующие положительным значениям ар­гумента этой функции. Поскольку функция φ(x) четна, φ(– x) = φ(x).

Пример. В сетевом районе 400 кабельных линий. При испытаниях их по­вышенным напряжением вероятность пробоя в одном испытании 0,2. Найти ве­роятность того, что испытаний не выдержат 80 КЛ.

Дата добавления: 2015-04-30