Элементы теории вероятностей 2 страница

Решение. Вычислим: . По таблицам [19] получим: φ(0) = 0,3989. Тогда: .

Вероятность того, что при достаточно большом n появится от k ₁до k ₂ин­тересующих нас событий вычисляется по приближенной формуле, которая но­сит название интегральная теорема Лапласа:

,

где – табулированные симметричные функции, для которых выполняется соотношения:

; ; ; ; .

Пример. По данным предыдущего примера определить вероятность того, что испытаний не выдержат от 70 до 100 КЛ.

Решение.

; .

По таблицам [19]: Ф(-1,25) = – 0,3944, Ф(2,5) = 0,4938.

P _400,(70,100) ≈ Ф(2,5) – Ф(-1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

Случайные величины в задачах надежности. Случайной называется ве­личина, которая в результате испытаний может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. СВ могут быть дискретными и не­прерывными. Дискретные СВ: число неисправных элементов, устройств, агре­гатов из общего числа находящихся в эксплуатации; число дефектных изделий в партии продукции; количество повреждений элементов какого-либо оборудо­вания в единицу времени и т.д. Непрерывные СВ: время безотказной работы элементов, устройств, агрегатов, систем; время вынужденного простоя обору­дования из-за отказов; время восстановления (обслуживания); уровень того или иного технического параметра (мощности, напряжения, тока) и т.д.

Из-за невозможности указать, какое конкретное значение примет СВ в эксперименте, для ее характеристики применяются вероятности того, что она будет равна заданному значению или окажется в указанных пределах возмож­ного значения. При этом используются понятия числовых характеристик рас­пределений СВ. Основными числовыми характеристиками СВ являются:

· характеристики положения (математическое ожидание (среднее значение) – M (X), мода – наиболее вероятное ее значение – Mo (X), медиана – значение СВ, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величи­на больше или меньше Me: P [ X < Me (X)] = P [ X > Me (Х)];

· характеристики рассеяния (дисперсия – D (X), среднее квадратическое отклонение – σ(X), коэффициент вариации – γ(X)).

Если заданы вероятности p_i - для значений x_i случайной величины X, то

; ;

; .

Для более полного описания СВ вводятся понятия функции распределе­ния F (x) и плотности распределения f (x).

Функция распределения определяет для каждого значения x вероятность того, что СВ X примет значение, меньшее x: F (x) = P (X < x).

Плотность распределения непрерывной СВ – первая производная от функции распределения: , .

M (X) и D (X) непрерывной СВ определяются по формулам

,

Пример. Энергосистема ограничивает промышленное предприятие в по­треблении электрической мощности P (МВт). В течение года возможны дефи­циты в 5, 10 и 15 МВт с вероятностями p_i соответственно 0,5, 0,2 и 0,1. Опреде­лить: а) математическое ожидание дефицита мощности; б) дисперсию среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации возможных отклонений дефицита мощности.

Решение.

;

;

; .

Законы распределения дискретных случайных величии, используемые в задачах надежности. Биномиальное распределение. Распределение вероятно­стей дискретной СВ, определяемое схемой испытаний (формулой) Бернулли

,

основные числовые характеристики которого определяются как

, .

Пример. На электростанции работает четыре однотипных генератора. Ве­роятность аварийного повреждения каждого из них p = 0,02. Составить закон распределения вероятного числа поврежденных генераторов.

Решение. Число поврежденных генераторов – дискретная СВ. По форму­лой биномиального распределения, находим:

Число поврежденных генераторов
Вероятность	0,922	0,075	0,023	0,00003	0,0000001

Распределение Пуассона позволяет определить вероятность появления дискретной СВ – P_k (t) наступления ровно k событий за промежуток времени t:

, , ,

где a – параметр закона распределения, являющийся математическим ожида­нием числа событий за время t;

λ – интенсивность случайного события.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального распределения при больших n → ∞ и малых p → 0. Тогда M (k) = a = n ∙ p.

При проведении большого количества независимых опытов n, в каждом из которых событие A имеет достаточно малую вероятность p, вычисление P_n,k производится по приближенной формуле

.

Характерным свойством закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии M (k) = D (k) = σ²(k) = λ∙ t. Это свойство часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример. Определить вероятность того, что за год работы произойдет два отказа силового трансформатора, если известно, что λ = 0,01 отк./год.

Решение.

; .

Пример. В СЭС промышленного предприятия происходит в среднем 0,375 отказов в год. Найти вероятность того, что за 8 лет работы число отказов будет не менее 2 и не более 4.

Решение. a = n ∙ p = 8 ∙0,375 = 3. P (2 ≤ х ≤ 4) = p ₂ + p ₃ + p ₄. При a = 3 и k = 2; k = 3; k = 4, находим:

; ; .

Окончательно: P (2 ≤ х ≤ 4) = p ₂ + p ₃ + p ₄ = 0,225 + 0,225 + 0,169 = 0,619.

Геометрическое распределение. Это распределение построено на основе схемы (формулы) независимых испытаний Бернулли при изучении распределе­ния непрерывной серии успехов или неудач при заданном числе испытаний. Вероятность того, что серия успехов будет иметь длину k, а на (k + 1)-м испы­тании произойдет неудача, определяется по теореме умножения вероятностей и представляет собой геометрическое распределение вероятностей

.

где p – вероятность успеха;

q = 1 – p – вероятность неудачи.

Его числовые характеристики:

; .

Отметим важное свойство геометрического распределения: вероятность успеха в результате k -то испытания в серии опытов не зависит от номера испы­тания и от того, какие события и в каком порядке реализовались в предыдущих k – 1 испытаниях. Это означает, что исход данного опыта не зависит от всего протекания процесса испытаний, то есть, подобный процесс обладает свойст­вом отсутствия последействия (марковским свойством).

Пример. Производятся профилактические испытания повышенным на­пряжением КЛ одного напряжения, типа, срока службы, проложенных в одина­ковых условиях. Вероятность успешного прохождения испытания p = 0,8. Найти: а) вероятность того, что первый отказ произойдет после 5 успешных испы­таний; б) определить, сколько в среднем произойдет успешных испытаний про­изойдет до первого неуспешного.

Решение. а) ; б) .

Гипергеометрическое распределение. Это распределение описывает веро­ятность появления ровно k успешных исходов в n испытаниях, когда n не мало по сравнению с объемом совокупности N. Вероятность того, что случайная вы­борка объемом и содержит ровно k элементов, обладающих свойством D соот­ветствует гипергеометрическому распределению с параметрами

; ; .

Если n значительно меньше N (n < 0,1 ∙ N), то гипергеометрическое распре­деление дает вероятности, близкие к найденным по биномиальному закону.

Еще одним дискретным распределением, используемым в теории надеж­ности, является распределение Паскаля (отрицательное биномиальное распре­деление), описывающее число испытаний k по схеме Бернулли, необходимых для получения интересующее исследователя значения ровно r раз.

Законы распределения непрерывных случайных величин, используемые в задачах надежности. Экспоненциальное (показательное) распределение за­нимает особое место среди распределений, используемых в теории надежности. Большой практический опыт эксплуатации различных технических систем под­тверждает справедливость гипотезы об экспоненциальном распределении во многих случаях. С математической точки зрения экспоненциальное распреде­ление обладает рядом свойств, позволяющих достаточно просто находить раз­личные характеристики надежности даже в весьма сложных случаях. Инте­гральная функция экспоненциального распределения выражает вероятность от­каза изделия или элемента за данный интервал времени: F (t) = 1 – е^{–λ ∙ t} .

Плотность вероятности отказов - производная функции F (t):

.

Функция надежности R (t) используется в качестве модели ВБР за время t:

,

где λ – постоянная величина интенсивности отказов.

Среднее время безотказной работы является величиной, обратной интенсивности отказов. Заменяя в функции надежности R (t) величину λ, обратной , имеем: , t > 0, T _ср > 0. Таким образом, зная среднее время безотказной работы T _ср или постоянную интен­сивность отказов λ, можно найти ВБР для интервала времени от момента включения элемента, устройства или агрегата до любого заданного момента t.

ВБР при t = T _ср равна .

Дисперсия ВБР: .

Среднее квадратическое отклонение σ(t) = T _ср.

Равенство среднеквадратического отклонения среднему времени работы – характерный признак экспоненциального распределения.

Вид функций f (t) = λ ∙ е^{–λ ∙ t} , R (t) = е^{–λ ∙ t} и λ = const представлен на рис. 2.36.

Рис. 2.36. Функции f (t) = λ ∙ е^{–λ ∙ t} , R (t) = е^{–λ ∙ t} и λ = const экспоненциального распределения

Постоянная интенсивность отказов означает, что вероятность отказа из­делия или системы не зависит от того, сколько времени она проработала до рассматриваемого момента времени. Эта закономерность является проявлением свойства отсутствия последействия, при наличии которого показатели надеж­ности зависят только от состояния изделия или системы в начале рассматри­ваемого интервала времени, но не зависят от наработки до этого интервала. Любое изделие работает в условиях определенной нагрузки (электрической, механической) и имеет ограниченную «прочность». Существует предельная на­грузка, которую изделие способно выдерживать без отказа. Если нагрузка пре­восходит предельную, то наступает внезапный отказ. Предельные нагрузки возникают случайно о, и момент их возникновения предсказать невозможно. В этом случае отказ возникает не вследствие постепенного изменения внутренне­го состояния изделия, а вследствие случайного внешнего воздействия, значение которого превышает допустимое.

Отсюда следует, что при экспоненциальном распределении наработки до отказа профилактические работы, включающие замену элементов или их про­филактический ремонт, теряют смысл, так как не могут повлиять на причину отказа. Путь повышения надежности состоит либо в конструктивном улучшении изделия (элемента, системы), либо в снижении действующих нагрузок.

Реальные статистические данные об эксплуатации электроэнергетическо­го оборудования показывают, что типичная зависимость интенсивности отказов от времени имеет U -образный вид (рис. 2.37). Так называемый жизненный цикл состоит из трех характерных участков: 1) период приработки (интенсивность отказов λ₁(t) падает); 2) период нормальной эксплуатации (постоянная интен­сивность λ = const отказов; 3) период старения, когда λ₂(t) быстро возрастает.

Следует отметить, что при отработанной и стабильной технологии произ­водства и тщательном выходном контроле количество дефектов мало и тогда преобладает процесс старения (результирующая кривая смещается влево). При практическом отсутствии процесса старения результирующая функция λ(t) может иметь затяжной участок приработки (смещение вправо). При длительных сроках эксплуатации (средний срок службы силового трансформатора 25 лет) на участке 2, где λ ≈ const проводятся периодические осмотры и ремонты. По­этому λ = const можно принять только с соответствующими допущениями.

Пример. Время безотказной работы силового трансформатора при пере­грузке распределено по экспоненциальному закону f (t) = 0,02 ∙ е^{–0,02 ∙ t}, где t – время, ч. Найти вероятность того, что трансформатор в перегрузочном режиме проработает безотказно в течение 100 ч.

Решение. .

При t = T _ср получим .

Рис. 2.37. Кривая жизни изделия

Равномерное распределение описывает результаты экспериментов со слу­чайными, но равновероятными исходами, которые лежат в пределах интервала [ a, b ], на котором плотность распределения постоянна f (x) = c, рис. 237,а.

Так как площадь, ограниченная кривой распределения равна 1, то и .

Поэтому плотность равномерного распределения равна

.

Интегральная функция равномерного распределения СВ

.

представлена на рис. 2.37,б.

Рис. 37. Плотность распределения а) и интегральная функция б) равномерно распределенной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной СВ определяются выражениями:

; .

Пример равномерно распределенной СВ – погрешность результатов из­мерений по шкале с ценой деления δ.

Гамма-распределение в теории надежности применяется для описания характера изменения параметров надежности элементов и систем на начальном периоде эксплуатации и в период износа. Это ограниченное с одной стороны распределение. Если отказ возникает тогда, когда происходит не менее k отка­зов его элементов, а отказы подчинены экспоненциальному закону с парамет­ром, интегральная функция такого распределения

а плотность вероятности

,

где λ₀ – исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом к элементов;

– гамма-функция;

k – параметр формы;

λ – параметр масштаба.

Этому распределению подчиняется время работы резервированных уст­ройств, отказ которых вызывается отказом k элементов. При k = 1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным и интенсивность отказов посто­янна. Если k < 1, интенсивность отказов – убывающая функция времени; при k > 1 она возрастает и гамма-распределение приближается к симметричному распределению (рис. 2.38). Гамма-распределение можно использовать на всех трех участках жизненного цикла изделия, объекта, системы: приработки (k < 1), нормальной эксплуатации (k = 1), старения (k > 1) (рис. 2.37).

Числовые характеристики гамма-распределения:

; .

Распределение Вейбулла (Вейбулла-Гнеденко) как и гамма-распределение, достаточно универсально, благодаря возможности варьирования двух его пара­метров m и λ. Оно имеет следующие функцию и плотность распределения:

;

с числовыми характеристиками

; ,

где Г – гамма-функция.

Рис. 38. Изменение формы гамма-распределения в зависимости от k

Рис. 39. Изменение формы распределения Вейбулла-Гнеденко в зависимости от m

При m = 1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а при m = 3,3 оно близко к нормальному (рис. 2.39). Распреде­ление Вейбулла может использоваться для аппроксимации реальных распреде­лений на участках жизненного цикла изделия, объекта, системы: приработки (m < 1), нормальной эксплуатации (m = 1), старения (m > 1) (рис. 2.37).

К распределению Вейбулла приводит следующая схема рассуждений. В каждом из элементов, представляющих достаточно большую совокупность, на­блюдается гамма-распределение наработки до отказа. Тогда в устройстве, созданном из этих элементов и рассматриваемого как один структурный элемент, будет иметь место распределение, близкое к распределению Вейбулла.

Нормальное (гауссовское) распределение. Плотность вероятности нор­мального распределения характеризует время возникновения отказа:

,

где Т – математическое ожидание времени между отказами;

σ – среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения соответствует вероятности отказа за время t:

.

Нормально распределенная СВ с большой вероятностью принимает зна­чения, близкие к математическому ожиданию, что выражается правилом сигм:

Чаще всего используется правило трех сигм.

Главные особенности этого закона в том, что он является предельным; к нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения; в теории надежности применяется для оценки постепенных отказов.

Примерами других, часто встречающихся в теории надежности распреде­лений, являются:

· распределение Эрланга, описывающее распределение длительности интерва­ла времени до появления и событий процесса Пуассона. Встречается при изуче­нии процессов функционирования сложных устройств, в которых происходит накопление отказов отдельных элементов прежде, чем откажет все устройство в целом. При целых k. Гамма-распределение превращается в распределение Эр­ланга, а при k = 1 оно становится экспоненциальным;

· распределение Рэлея, получается из распределения Вейбулла при m = 2;

· логарифмически нормальное (логонормальное) распределение удобно для описания СВ, представляющих собой произведение достаточно большого их числа, подобно тому, как нормальное распределение описывает сумму большо­го числа СВ;

· бета-распределение представляет статистическую модель СВ, значения ко­торых ограничены конечным интервалом. Оно используется для описания су­точного производства продукции, распределения времени, оставшегося до завершения отдельных этапов и всей работы в целом. Частным случаем бета-распределения является равномерное распределение;

· распределение χ² Пирсона, играющее большую роль при решении задач, свя­занных с оценкой параметров надежности, определяемых при испытаниях или эксплуатации оборудования. Оно используется при сглаживании распределений эмпирических данных. На основе этого распределения разработан критерий проверки согласия эмпирических данных и теоретических распределений.

Известен и ряд других распределений СВ, используемых в специаль­ных задачах: усеченное нормальное распределение; распределение Стьюдента (В. Госсета) (t - распределение); распределение Каши; распределение Парето; распред еление F Фишера.

Зависимость и коррелировачность случайных величин. Если анализи­руется несколько СВ, то необходимо обратить внимание на степень и характер их зависимости. В теории надежности, также, как и в теории вероятностей, по­нятие «зависимости» отличается от обычного, используемого в классической математике. Здесь имеется в виду вероятностная (стохастическая) зависимость, когда, зная значение X, нельзя точно указать величину Y. Вероятностная зави­симость определяется теснотой связи анализируемых СВ и по мере ее увеличе­ния она все более приближается к своему предельному случаю – функциональ­ной связи. Другой крайний случай - полная независимость СВ. Между этими крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости. Характер­ными примерами вероятностной зависимости СВ являются: зависимость слу­чайного числа отказов ВЛ (Y) от интенсивности грозовой деятельности (X);за­висимость качества и длительности ремонта электроэнергетического объекта (Y)от квалификации и численности ремонтного персонала.

Случайная величина Y называется независимой от СВ X,если закон рас­пределения СВ Y не зависит от того, какие значения приняла СВ X. В против­ном случае, эти величины называются зависимыми.

Характеристикой связи между СВ X и Y служит корреляционный момент.

Корреляционным моментом K_xy случайных величин X и Y называют ма­тематическое ожидание произведения отклонений этих величин

.

Для дискретных СВ используют формулу

.

а для непрерывных

.

Корреляционный момент двух независимых СВ равен нулю K_xy = 0, а зависимых – K_xy = 1. Корреляционный момент имеет размерность произведе­ния размерностей СВ. В практических расчетах его использование вызывает затруднения. Поэтому вводится коэффициент корреляции:

.

Абсолютная величина r_xy не превышает единицы. Если r_xy = 1 или r_xy = -1,связь между случайными величинами X и Y функциональная (положи­тельная или отрицательная). Если r_xy = 0,то X и Y независимы. Чем теснее связь, тем ближе коэффициент корреляции к единице (по модулю).

Контрольные вопросы

1) Какие события, происходящие в системах электроэнергетики, относятся к классу случайных?

2) Как определяются достоверное и невозможное события?

3) Как определяются несовместные события?

4) Как определяются независимые события?

5) Какие события представляют полную группу событий?

6) Приведите примеры суммы и произведения событий.

7) Дайте классическое определение вероятности события.

8) Чем отличается частота события от вероятности события?

Дата добавления: 2015-04-30