Элементы математической логики

Общие сведения о случайных функциях, случайных процессах и потоках случайных событий в задачах надежности

Случайная величина в результате опыта принимает одно заранее неиз­вестное, но единственное значение. Такой подход к изучению случайных явле­ний в ряде практических задач недостаточен. Часто приходится иметь дело со СВ, непрерывно изменяющимися в процессе опыта.

Примерами их являются: параметры суточных графиков нагрузки потре­бителей за определенный период времени; изменения располагаемой мощности электростанций, зависящие от метеоусловий и других внешних факторов; из­менения спроса мощности и энергии в узлах и в энергосистеме в целом; коле­бания напряжения в электрической сети; ошибки систем измерения электриче­ских величин; параметры управления режимами ЭЭС; потоки событий, такие, как количество отказов и восстановлений элементов систем энергетики и др.

Изменяющиеся в процессе наблюдений (опытов) СВ представляются слу­чайными функциями, значения которых при каждом значении аргумента явля­ются СВ [19]. Вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, на­зывается реализацией. Если производится n независимых опытов, возникает семейство реализаций случайной функции X (t) – x ₁(t), X ₂(t), …, x_n (t)(рис. 2.40).

Рис. 2.40. Семейство реализаций x_n (t)случайной функции X (t)

Каждая реализация – неслучайная функция. При фиксированном значе­нии аргумента t случайная функция X (t)превращается в СВ, представляемую n значениями, которая называется сечением случайной функции, соответст­вующим данному t. На практике пользуются числовыми характеристиками слу­чайных функций, аналогичными числовым характеристикам СВ – математиче­ским ожиданием, дисперсией, корреляционным моментом. В отличие от число­вых характеристик СВ, представляющих собой определенные числа, числовые характеристики случайных функций представляют собой функции.

Математическое ожидание случайной функции X (t)–неслучайная функция m_x (t), которая при значении аргумента t равна математическому ожи­данию соответствующего сечения случайной функции m_x (t) = M [ X (t)]. Мате­матическое ожидание случайной функции – «средняя» функция, около которой варьируются конкретные реализации случайной функции (рис. 2.41).

Рис. 2.41. Математическое ожидание m_x (t)= M [ X (t)] случайной функции X (t)

Дисперсией случайной функции X (t)называется неслучайная функция D_x (t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего се­чения случайной функции D_x (t) = D [ X (t)]. Дисперсия случайной функции при каждом t характеризует разброс возможных реализаций случайной функции от­носительно среднего – «степень случайности» случайной функции. Среднее квадратическое отклонение случайной функции: .

Хотя математическое ожидание и дисперсия – важные числовые характе­ристики случайной функции, для описания особенностей X (t)их недостаточ­но, поскольку при одинаковых значениях m_{x 1}(t) = m_{x 2}(t)и D_{x 1}(t) = D_{x 1}(t) (рис. 2.42) не определяется поведение возможных реализаций x_i (t). Для слу­чайной функции X ₁(t)(рис. 2.42,а) характерно плавное, постепенное измене­ние. Если в точке t одна из ее реализаций x_i (t) приняла значение, выше m_{x 1}(t), то с большой вероятностью можно утверждать, что в точке t 'она также примет значение, больше среднего. Следовательно, для X ₁(t)ярко выражена зависи­мость между ее значениями при различных t. Случайная функция X ₂(t)(рис. 2.42,б) имеет резко выраженный колебательный характер с быстрым затухани­ем зависимости между ее значениями по мере увеличения промежутка t, t '.

Рис. 2.42. Поведение возможных реализаций x_n (t)случайных функций X ₁(t)и X ₂(t)

Для описания внутренней структуры случайных функций вводится корре­ляционная (автокорелляционная) функция, характеризующая степень зависимо­сти между сечениями случайной функции, относящимися к различным t. Две случайные величины x (t)и x (t ')в сечениях случайной функции t и t '(рис. 2.42) являются зависимыми. При небольших отрезках t, t 'величина x (t ')принимает значение, близкое к x (t)с относительно большой вероятностью. При увеличе­нии интервала между сечениями t, t 'зависимость x (t)и x (t ')должна убывать. Степень их зависимости характеризуется корреляционным моментом, являю­щимся функцией двух аргументов t и t '. Таким образом, корреляционной функ­цией случайной функции X (t)называется неслучайная функция двух аргумен­тов K_x (t, t '), которая при каждой паре значений t, t ' равна корреляционному моменту соответствующих.сечений случайной функции:

,

где , .

Если аргументы корреляционной функции совпадают t = t ',то она обраща­ется в дисперсию случайной функции

.

При построении корреляционной функции задаются рядом равноотстоя­щих значений аргумента и строят корреляционную матрицу системы СВ – таб­лицу значений для аргументов на плоскости (t, t '). Вместо корреляционной функции K_x (t, t ') используют нормированную корреляционную функцию

,

которая представляет собой коэффициент корреляции величин x (t)и x (t ').

При определении характеристик случайной функции X (t) рассматрива­ется ряд ее (обычно равноотстоящих) сечений для моментов времени t ₁, t ₂,…, t_m.

Зарегистрированные значения X (t) заносятся в таблицу, каждая строка которой соответствует конкретной реализации случайной функции, а столбец – сечению (конкретному значению времени) (табл. 2.2).

Значения случайной функции X (t)в различных сечениях

Таблица 2.2.

t X (t)	t 1	t 2	…	ti	…	tl	…	tm
x 1(t)	x 1(t 1)	x 1(t 2)	…	x 1(ti)	…	x 1(tl)	…	x 1(tm)
x 2(t)	x 2(t 1)	x 2(t 2)	…	x 2(ti)	…	x 2(tl)	…	x 2(tm)
…	…	…	…	…	…	…	…	…
xj (t)	xj (t 1)	xj (t 2)	…	xj (ti)	…	xj (tl)	…	xj (tm)
…	…	…	…	…	…	…	…	…
xn (t)	xn (t 1)	xn (t 2)	…	xn (ti)	…	xn (tl)	…	xn (tm)

Оценки математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений, корреляционных моментов и коэффициентов корреляции сечений случайной функции находятся по формулам:

; ; ;

;

.

Пример. Потребление электрической энергии промышленным предпри­ятием в течение пяти суток изменялось в соответствии со значениями, пред­ставленными в таблице 2.3. Рассматривая потребление электроэнергии как слу­чайный процесс, найти математические ожидания, дисперсии и коэффициенты корреляции для указанных сечений процесса.

Таблица 2.3.

Сечения процесса	Часы суток	Потребляемая мощность в рабочие дни недели, МВт
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт

Решение: а) оценка математического ожидания электропотребления в сечении 1: ;

б) оценка дисперсии и среднего квадратического отклонения

;

в) коэффициент корреляции для сечений t_i, t_l

Результаты остальных вычислений приведены в табл. 2.4 и представлены нормированной корреляционной матрицей || r_{i , l} ||.

Таблица 2.4.

Сечения
mW (t), МВт	5,2	11,4	8,6	17,8	9,8
DW (t), МВт^2	0,7	1,3	0,8	0,7	1,7
σW (t), МВт	0,837	1,14	0,895	0,837	1,31

.

Так как r_{i , l} = r_{l , i}, то матрица || r_{i , l} || заполняется только над главной диагональю, все элементы которой равны 1.

В системах энергетики встречаются случайные функции, имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, при­чем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают суще­ственных изменений с течением времени. Такие случайные функции называют­ся стационарными случайными процессами. Случайный процесс стационарный, если математическое ожидание m_x (t), дисперсия D_x (t)не зависят от t или не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси t.

; .

Корреляционная функция стационарного случайного процесса K_x(t, t + τ) зависит не от положения, t первого аргумента на оси абсцисс, а только от про­межутка τ между первым и вторым аргументами

.

На практике вместо корреляционной функции K_x( τ)используют норми­рованную корреляционную функцию

,

которая представляет собой коэффициент корреляции между сечениями слу­чайного процесса, разделенными интервалом т. Очевидно, что ρ _x (0) = 1.

Поскольку стационарный случайный процесс протекает однородно во времени, считается, что единственная реализация достаточной продолжитель­ности может служить полной его характеристикой. В этом случае стационар­ный случайный процесс обладает свойством эргодичности, состоящем в том, что практически каждая его реализация является «полноправным представите­лем» всей совокупности возможных реализаций.

Одной из иллюстраций случайных процессов является последователь­ность случайных событий: исправная работа элемента или системы, отказ, вос­становление работоспособности, исправная работа и т.д. Поэтому в теории на­дежности пользуются понятием потока событий. Под потоком событий по­нимается последовательность событий, при которой они происходят одно за другим в случайные моменты времени t. Основными потоками событий, изу­чаемых в теории надежности, являются потоки отказов и восстановлений. От­каз и восстановление - два противоположных случайных события. Отрезки времени между ними являются СВ, которые также характеризуют вероятность отказа. Наиболее важными характеристиками потока отказов и восстановлений являются математическое ожидание числа отказов (восстановлений) на интер­вале (0, t), интенсивность отказов (восстановлений), параметр потока отказов.

Простейшим потоком событий называется поток, удовлетворяющий ус­ловиям стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Стацио­нарность потока отказов означает, что вероятность появления определенного числа отказов п за некоторый интервал времени не зависит от того, где распо­лагается на оси времени t этот интервал, а зависит только от длительности ин­тервала. Поэтому вероятность возникновения фиксированного числа отказов на заданном интервале времени не зависит от выбора начала отсчета времени, а плотность потока появления отказов постоянна во времени. Следовательно

.

Потоки отказов в период нормальной эксплуатации близки к стационар­ному, а в период приработки и старения нестационарны (рис. 2.37).

Отсутствие последействия означает, что вероятность возникновения фиксированного числа отказов на интервале времени (t, t + ∆ t)не зависит от то­го, сколько отказов возникло до момента t + ∆ t. Условие отсутствия последей­ствия выражает взаимную независимость отказов, что определяет независи­мость протекания потока в непересекающихся интервалах времени.

Ординарность потока показывает, что вероятность возникновения двух и более отказов P_k за промежуток времени ∆ t пренебрежимо мала по сравне­нию с вероятностью возникновения одного отказа

.

Таким образом, ординарность потока исключает случаи одновременного возникновения нескольких отказов.

Если оборудование или установка состоят из большого числа элементов, каждый из которых может отказать лишь с относительно малой вероятностью, и эти отказы взаимно независимы, что характерно для установок электроэнер­гетики, суммарный поток отказов считается близким к простейшему. Несмотря на то, что на практике не всегда наблюдается выполнение всех трех условий (стационарность, ординарность, отсутствие последействия), простейший поток служит приближенной физической моделью для широкого круга задач, выдви­гаемых требованиями эксплуатации объектов электроэнергетики.

Рассмотрим потоки ординарных событий, различающихся только момен­тами их появления. Графически поток отказов и восстановлений можно пред­ставить в виде бесконечно коротких импульсов при «мгновенном» восстанов­лении (рис. 2.43,а), либо в виде прямоугольных импульсов при конечном вре­мени восстановления (рис. 2.43,б). На рис. 2.43 обозначено: t _{о i} – промежуток времени непрерывной работы между отказами; t _{в i} – промежуток времени, за­трачиваемого на восстановление; t _∑ = t _{о i} + t _{в i} –время между отказами. Число от­казов для каждого фиксированного значения t > 0 – N _о(t); число восстановле­ний для каждого t > 0 – N _в(t); t _о, t _в, t _∑, N _о, N _в – случайные величины.

Рис. 2.43. Потоки отказов и восстановлений при нулевом а) и конечном б) времени восстановления

Эмпирическая вероятность отказа за любой отрезок времени t _оподсчитывается как отношение суммы всех t _{о i} меньших t _о, к сумме всех t _{о i}, полученных за время наблюдений (испытаний):

.

Аналогично определяется эмпирическая вероятность восстановлений за промежуток времени t _в:

Ряд таких эмпирических оценок дает представление о функциях распре­деления случайных величин T _ои T _в, характеризующих вероятности случайных событий отказа и восстановления. Характеристики функций распределения случайных величин T _о, T _ви T _∑ = T _о + T _в полностью описывают надежность восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, объектов и систем с веро­ятностной точки зрения. Для получения этих характеристик требуется относи­тельно большой объем наблюдений. Поэтому во многих случаях ограничива­ются числовыми характеристиками, которые получают на основе эксперимента и которые достаточно полно характеризуют надежность.

Фундаментальнее значение в теории надежности имеет функция восста­новления H (t), которая равна математическому ожиданию числа восстановлений за интервал времени [0, t ]:

,

где – вероятность появления в промежутке [0, t ] ровно k восстановлений

Для процессов с «мгновенным» временем восстановления (рис. 2.43,а) функция восстановления обозначается Ω(t)и называется функцией отказов. Это математическое ожидание числа отказов на интервале [0, t ]:

.

Важной характеристикой потока является мгновенный параметр потока отказов – ω(t), определяемый пределом:

,

где P_k (t, t + ∆ t) – вероятность появления на промежутке (t, t + ∆ t) ровно k отка­зов;

Ω(t, t + ∆ t) – среднее число отказов на промежутке (t, t + ∆ t).

Параметром потока отказов ω(t)называется среднее число отказов вос­станавливаемого объекта в малом единичном интервале работы ∆ t → 0 около момента t.

Наработкой называют длительность или объем работы оборудования, измеряемые в часах, километрах, циклах, кубометрах или других единицах.

Понятие «мгновенная интенсивность потока» вводится для невосстанавиваемых объектов, которые могут иметь только одно нарушение работоспо­собного состояния. Классическим примером такого объекта является электри­ческая лампа. Интенсивность потока отказов – условная плотность λ (t)рас­пределения наработки невосстанавливаемого объекта до отказа в малом еди­ничном интервале около момента t при условии, что до этого момента отказ не возник:

.

Восстанавливаемые объекты, какими являются ЭЭС и составляющие их элементы, за время эксплуатации могут иметь множество отказов, после кото­рых происходит восстановление работоспособности. Поэтому для них понятие интенсивности X (t)теряет смысл, так как само условие «отказа до момента t не было» не выполняется – отказы были и были после них восстановления работо­способности, после чего объекты продолжали работать.

Использование понятия интенсивности отказов для восстанавливаемых объектов возможно, и его часто используют, но при условии, что объект в оп­ределенные периоды эксплуатации рассматривается как невосстанавливаемый (например, в период до первого отказа) или после восстановления работоспо­собности до следующего отказа. Об этом иногда забывают, что приводит к тер­минологической путанице [2].

Для ординарных потоков

,

где P ₁(t, t + ∆ t) – вероятность появления на промежутке (t, t + ∆ t) одного отказа;

0(∆ t) – условное обозначение бесконечно малой величины более высокого по­рядка малости, чем ∆ t.

Для стационарного потока и интенсивность потока λ, и параметр потока со, не зависят от времени t: λ(t) = const; ω(t) = const. Если поток событий к то­му же и ординарный, то ω = λ = const.

Ординарные потоки без последействия называются пуассоновскими по­токами. Поскольку плотность простейшего потока (среднее число событий в единицу времени) постоянна, вероятность того, что число отказов k на произ­вольном интервале времени ∆ t распределяется по закону Пуассона с постоян­ным параметром λ определится как:

.

Для стационарного потока α = λ ∙ t = ω ∙ t.

Вероятность отсутствия отказов за время t (k = 0):

.

Это экспоненциальное распределение, показывающее вероятность безот­казной работы R (t).

Вероятность отказа определяется как Q (t) = 1 – R (t) = 1 – e ^{-λ ∙ t} = 1 – e ^{-ω ∙ t} .

Следовательно, закон распределения времени безотказной работы T _отакже экспоненциальный, с параметром .

Функции Q (t)и P (t)(или R (t))имеют вид, представленный на рис. 2.44 при условии, что зависимость интенсивности отказов от времени на периоде нормальной эксплуатации соответствует рис. 2.37.

Рис. 2.44. Вероятность отказа Q (t)и безотказной работы P (t)при экспоненциальном законе распределения наработки до отказа

Вероятность безотказной работы не зависит от времени предшествующей работы элемента, объекта или изделия, а зависит только от рассматриваемого интервала времени. Это значит, что будущее поведение элемента или объекта не зависит от прошлого, если он в настоящий момент работоспособен. Такое свойство называется характеристическим. Для объекта с таким свойством за­кон распределения времени безотказной работы - экспоненциальный, а поток отказов - простейший. На основе изложенного следует, что для определения характеристик простейшего потока достаточно знать λ или ω.

Поток восстановлений по аналогии с потоком отказов характеризуется:

1) вероятностью восстановления за время t: ;

2) вероятностью невосстановления за время t: ;

3) средним временем восстановления: ;

4) интенсивностью восстановления: .

Электроэнергетические установки в большинстве своем относятся к вос­станавливаемым техническим системам. После отказа установки или ее обору­дования следует восстановление (ремонт). Под восстановлением понимается обнаружение повреждения или неисправности и их устранение. Случайная ве­личина T _в – время восстановления - складывается из составляющих:

,

где T _он – время на обнаружение неисправности;

T _ло – время локализации от­каза;

T _р– время на устранение неисправности или ремонт;

T _н – время наладки после устранения отказа;

T _п – длительность предпусковой проверки.

В общем случае все перечисленные слагаемые являются СВ со своими законами распределения, зависящими от ремонтопригодности, алгоритмов санк­ционирования и правил технического обслуживания.

Закон распределения V (t) СВ T _в для различного оборудования описывется экспоненциальным, гамма-распределением или распределением Вейбулла.

Экспоненциальный закон распределения времени восстановления спра­ведлив при следующих условиях: 1) когда восстановление связано с рядом по­пыток, каждая из которых приводит к необходимому результату с какой-то ве­роятностью; 2) когда плотность распределения времени восстановления убыва­ет с возрастанием аргумента. Обнаружение неисправности в электротехниче­ской установке осуществляется, как правило, рядом последовательных прове­рок и удовлетворяет первому условию. Второму условию соответствует требо­вание быстрого восстановления основной массы отказов. Значительные за­держки в восстановлении оборудования энергосистем наблюдаются относи­тельно редко, что подтверждается аварийной статистикой.

Пуассоновские потоки могут быть и нестационарными. Нестационар­ность потока отказов у отдельных типов электроэнергетического оборудования вызывается наличием периода приработки, когда выявляются скрытые дефекты изготовления и монтажа, наличием старения изоляции, износа и разрегулировки механических частей. Высоковольтное оборудование имеет сезонную неста­ционарность, связанную с воздействием гроз, талых вод или гололеда. Для не­стационарного пуассоновского потока число событий в интервале времени ∆ t

.

Распределение времени T между двумя соседними отказами для неста­ционарного потока не подчиняется показательному закону, определяется видом зависимости λ(t)и расположением на оси t первого отказа.

Отметим, что решение инженерных задач оценки надежности и эффек­тивности объектов и систем электроэнергетики с учетом нестационарности по­токов отказов и восстановлений – чрезвычайно трудоемкая задача, поскольку возникает необходимость учета множества особенностей их функционирова­ния, связанных с контролем состояния элементов, последействием отказов, возможностью изменения структуры системы, учетом различных видов резер­вирования.

Контрольные вопросы

1) Что такое случайная функция?

2) Приведите примеры случайных функций из области электроэнергетики.

3) Какими числовыми характеристиками определяется случайная функция?

4) Как строится корреляционная функция?

5) Как определяется понятие случайного процесса?

6) Какие бывают типы случайных процессов?

7) Как определяется стационарный случайный процесс?

8) Каковы свойства простейшего случайного процесса?

9) Что такое поток событий?

10) Какой поток отказов называется Пуассоновским?

11) Какими характеристиками может быть определен поток восстановлений?

12) Что такое функция отказов?

13) Что такое параметр потока отказов и интенсивность отказов?

14) При каких условиях параметр потока отказов и интенсивность отказов совпадают?

15) Как выглядя функции вероятности отказа и ВБР?

Развитию математического аппарата алгебры логики (математической логики) способствовало широкое применение его в решении прикладных задач, одной из которых являлось построение релейно-контактных схем с заданными свойствами. Как известно, реле имеет два устойчивых состояния, поэтому по­ведение релейных схем хорошо описывается на языке булевых функций (буле­вой алгебры) (по имени английского математика и логика Джоржа Буля, кото­рый более 150 лет назад изложил математический подход к вопросам исчисле­ния высказываний).

В математической логике под высказыванием понимается любое предло­жение, относительно которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности. Высказывания оцениваются только по их истинности или ложности, без учета конкретного содержания. При этом высказывание рассматривается как величина, принимающая два значения: «истина – А = 1» и «ложь – А = 0».

Два высказывания называют эквивалентными, если их истинностные зна­чения одинаковы. Эквивалентность двух высказываний обозначают знаком ра­венства: А = 1, В = 1; А = В или А Û В.

Каждое конкретное высказывание имеет вполне определенное истинно­стное значение, но оно может быть и переменным. Переменная величина, кото­рая принимает лишь два значения, называется двоичной переменной.

Например, высказывание C – «электрическая машина работоспособна» – в конкретной ситуации может быть как истинным (C = 1), так и ложным (C = 0).

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простое высказыва­ние относится к событию или состоянию, которые сами не рассматриваются ни как логическая сумма «ИЛИ», ни как логическое произведение «И» других со­бытий или состояний. Сложное высказывание –это высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний со значениями 0 и 1, соединенных между собой логическими операциями.

Двоичные переменные называются аргументами. Высказывания, истин­ностные значения которых определяются значениями истинности других вы­сказываний, являются их функциями. Функции, принимающие лишь два значе­ния (1 или 0) и определяемые различными наборами двоичных аргументов на­зываются двоичными функциями или функциями алгебры логики (ФАЛ).

Наиболее распространенные алгебраические операции для двух простых высказываний приведены в табл. 2.5.Основные правила преобразования логи­ческих выражений позволяют сложные логические функции привести к мини­мальной форме (табл. 2.6). Для упрощения сложных логических выражений ис­пользуются операции поглощения и склеивания.

Таблица 2.5.

Название операции	Результат функции a / b	Обозначение операции
0/0	0/1	1/0	1/1
Конъюнкция (логическое умножение)					«И» а Ù Ь
Дизъюнкция (логическое сложение)					«ИЛИ» a Ú Ъ
Эквивалентность					a Û b
Отрицание					«НЕ»

Таблица 2.6.

Правила для одной переменной
a Ù 1 = a	a Ú 1 = 1
a Ù 0 = 0	a Ú 0 = a
a Ù a = a	a Ú a = a
a Ù a Ù … Ù = a	a Ú a … Ú a = a
a Ù ā = 0	a Ú ā = 1
Правила для двух и трех переменных
a Ù b = b Ù a	a Ú b = b Ú a

Операция поглощения определяется соотношениями:

; . (2.1)

В соответствии с терминологией теории множеств, подмножество A по­глощается множеством B, если A Ì B- На рис. 2.45 иллюстрируются соотноше­ния (2.1). Поглощаемые множества заштрихованы, а поглощающие выделены контуром.

Рис. 2.45 Графическая иллюстрация операций поглощения

а) ; б) .

Операция склеивания определяется соотношениями

(2.2)

где использована запись логического умножения без знака конъюнкции. Графическая иллюстрация соотношений (2.2) дана на рис. 2.46.

Рис. 2.46. Графическая иллюстрация операций склеивания

;

.

Контрольные вопросы

1) Что в математической логике понимается под высказыванием?

2) Какие значения могут принимать переменные алгебры логики?

3) Какие высказывания являются простыми?

4) Какие высказывания являются сложными?

5) Какие алгебраические операции используются для простых высказываний.

6) Каковы основные правила преобразования сложных высказываний?

7) Как определяется операция поглощения?

8) Как определяется операция склеивания?

Дата добавления: 2015-04-30