Точность оценки. Доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Пусть для параметра а случайной величины получена оценка а ^*. Необходимо оценить возможную при этом ошибку; δ – точность оценки. Надежностью (доверительной вероятностью) называют вероятность, с которой выполняется неравенство ; . Тогда , то есть, с вероятностью β неизвестное значение параметра a попадет в интервал (рис. 3.4). Это вероятность того, что интервал заключает в себе неизвестный параметр а.

Рис. 3.4. Доверительный интервал, верхняя a _в, и нижняя границы a _нвозможного изменения параметра a при доверительной вероятности β

Ширина доверительного интервала характеризует точность выборочной оценки, а доверительная вероятность β – достоверность оценки. Чем меньше β, тем шире доверительный интервал. В энергетике β принимается в пределах 0,8...0,99. Для разных законов распределения величины δ = σ ∙ t _β табулированы.

Известно, что число зарегистрированных наработок исследуемых элемен­тов (объектов, изделий) n связано с числом зарегистрированных отказов m. При этом возможны три случая: отказов не было (m = 0); все изделия доработали до отказа (m = n); не все изделия доработали до отказа (m < n). В предположении экспоненциального закона распределения доверительные границы интенсивно­сти отказов определяются для первого случая: , ;

для второго: ,

для третьего: ,

где , , – квантили распределения хи-квадрат,

β – доверительная вероятность;

N – общее число объектов;

m – число зарегистрированных отказов.

Пример. За год эксплуатации зарегистрирован m = 21случайных отказов воздушных выключателей U = 330 кВ при отключении ими коротких замыка­ний. Число эксплуатируемых выключателей составляло N = 1750 шт. Оценить средний параметр потока отказов и его доверительные границы с доверитель­ной вероятностью β = 0,95.

Решение. Примем гипотезу об экспоненциальном распределении для на­работки на отказ, используя следующие выражения и соответствующие табли­цы квантилей распределения χ² [2]:

, .

Вычисляем верхнее ω_в, нижнее ω_н и среднее значения:

; ;

Контрольные вопросы

1) Для чего нужна проверка однородности статистического материала?

2) Какой критерий используется для проверки однородности статистического мате­риала?

3) Как производится проверка гипотез о законе распределения случайных величин?

4) Каков порядок использования критерия Колмогорова?

5) Каков порядок использования критерия хи-квадрат Пирсона?

6) Каковы области применения критериев Колмогорова и хи-квадрат Пирсона?

7) Каковы особенности обработки ограниченного статистического материала?

8) Что такое доверительный интервал?

9) Что такое доверительная вероятность?

Дата добавления: 2015-04-30