Проверка однородности статистического материала и гипотез о законе распределения случайной величины

Проверка однородности статистического материала. Для точного определения ПН, видов законов распределения наработки на отказ и других СВ необходимо объединять статистические данные, собранные на различных объ­ектах ПП и энергосистем. В связи с этим возникает задача проверки однород­ности статистического материала.

Пусть помимо выборки x ₁, x ₂, …, x_n имеются также взаимно независимыевеличины x '₁, x '₂, …, x ' _m распределенные одинаково и непрерывно, но принад­лежащие другой выборке. Объединим эти совокупности, расположив их в по­рядке возрастания значений x ''₁, x ''₂, …, x '' _{n + m} . Обозначим: G_m (x)– функция эмпи­рического распределения, соответствующая выборке x '₁, x '₂, …, x ' _m.

Основная гипотеза H ₀, подлежащая проверке, заключается в предположе­нии, что обе выборки извлечены из одной и той же совокупности, а значения функции распределения величин x и x 'одинаковы. Эту гипотезу можно выра­зить тождеством

,

где F (x)– функция эмпирического распределения, построенного на выборке x ₁, x ₂, …, x_n.

Дняпроверки нулевой гипотезы используется критерий Вилкоксона, ос­нованный на числе инверсий, под которыми понимается следующее: если како­му-либо значению x предшествует некоторый x ', говорят, что эта пара дает ин­версию.

Гипотеза H₀ отвергается, если сумма инверсий, где k –число инверсий, превосходит выбранную в соответствии с уровнем значимости границу, определяемую из расчета, что при объемах n > 10 и m > 10 выборок число ин­версий и распределено по нормальному закону с центром

и дисперсией

. (3.13)

Пример. Собраны статистические сведения о повреждаемости воздушных ЛЭП (ω, отк/год) в двух энергосистемах.

Энерго­система	Обозна­чение	Месяцы
я	ф	м	а	м	и	и	а	с	о	н	д
	x	0,8	1,9	3,0	3,5	3,8	2,5	1,7	0,9	1,0	2,3	3,3	3,4
	x '	1,4	2,1	3,1	3,6	2,7	1,8	1,1	0,2	1.6	2.Х	4.0	4./

Требуется определить, можно ли считать, что между данными о повреж­даемости ЛЭП в разных энергосистемах нет систематических расхождений и что они имеют одинаковые систематические погрешности, то есть, нужно про­верить нулевую гипотезу H ₀.

Решение. Располагаем исходные данные в общей последовательности, в порядке возрастания повреждаемости:

x '	x	x	x	x '	x '	x '	x	x '	x	x '	x
0,2	0,8	0,9	1,0	1,1	1,4	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2,3
x		x '	x	x '	x	x	x	x '	x	x '	x '
2,5	2,7	2,8	3,0	3,1	3,3	3,4	3,5	3.6	3,8	4,0	4,7

Число инверсий для x равно

.

По формулам (3.12) и (3.13) находим

; ; .

Задавшись уровнем значимости критерия α = 5%, и учитывая, что обе энергосистемы равноправны, строим критическую область больших по абсо­лютной величине отклонений, используя табличное значение [19] t ₅ = 1,96.

Критическая область для гипотезы H ₀определится как:

Полученное расчетное значение инверсии u = 69 не лежит в критической области, поэтому гипотеза H ₀не опровергается и нет оснований считать энер­госистемы существенно различающимися по аварийности ЛЭП.

Проверка гипотез о законе распределения случайной величины. Про­стейший способ проверки – графический. Построение функции распределения СВ проводится на вероятностной бумаге, своей для каждого вида распределе­ния [37, 49]. Если координаты точек статистической функции распределения F^* (x)лежат вблизи прямой линии, проходящей через область их расположе­ния, то выдвинутая гипотеза о виде закона распределения не отвергается.

Критерий А. Н. Колмогорова. Он предполагает известным из предвари­тельных предпосылок вид теоретического закона распределения исследуемой случайной величины. При использовании его необходимо иметь численные значения теоретической и экспериментальной функций распределения для не­которого числа n значений аргумента. По ним определяется максимальное рас­хождение D_n между теоретическими и опытными данными (рис. 3.2)

.

Рис. 3.2 Оценка величины расхождения опытных данных и теоретического распределения вероятностей

Вычислив величину по значению D_т, можно оценить вероятность P (y)случайного получения значения y [19]. В задачах электроэнергетики если P (y) > 0,3...0,4, опытная и теоретическая функции хорошо согласуются; если P (y) < 0,5...0,1, наблюдаемое отклонение не случайно [2].

Пример. Проверить соответствие гипотезы об экспоненциальном распре­делении данных об отказах ЛЭП 220 кВ. Исходные данные: t_i – время безот­казной работы, m_i – количество наблюдений. Расчеты сведены в табл. 3.1, где: ; ; и Q – эмпирическая и теоретическая функции распределения.

Таблица 3.1

I	Ti	Mi
	0,091		0,143	0,143	0,265	0,310	0,122
	0,143		0,143	0,286	0,385	0,488	0,099
	0,167		0,143	0,429	0,435	0,570	0,006
	0,200		0,286	0,715	0,495	0,682	0,220
	0,250		0,143	0,858	0,575	0,853	0,283 max
	1,0		0,143	1,000	0,965	3,143	0,035

Максимальному отклонению D_n = 0,283 соответствует значение

.

По таблице значений P (λ)критерия Колмогорова [19] при λ _n = 0,75 име­ем: P (λ) = P (0,75)= 0,65 (с аппроксимацией). Эта вероятность достаточно ве­лика, чтобы считать отклонение действительно случайным, а гипотезу об экс­поненциальном законе распределения не противоречащей полученным данным.

Критерий хи-квадрат Пирсона. Пусть проведено и независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X приняла определённое значение, и на основании наблюдений вычислены частоты , где m_i – число зарегистрированных значений случайной величины, попадающих в i -й интервал или принимающих i -е значение. Всего r интервалов. В каждом интервале должно быть не менее 5...10 значений. Из каких-либо положений теоретического харак­тера высказывается предположение о виде закона распределения случайной ве­личины и дается теоретическая оценка частностей p_i = f (P (x)).

К. Пирсон показал, что величина

(3.14)

распределена по закону χ²с числом степеней свободы k, которое равно числу интервалов r и определяется как k = r – s, где s = 2...3 – число независимых ус­ловий, связей. Обычно их три. 1. ; 2. ; 3. .

По таблице распределения χ² оценивается вероятность и вероятность 1– q значения χ². равного наблюдаемой величине

Пример. Проверим гипотезу об экспоненциальном распределении дли­тельности работы 200 ламп накаливания с помощью критерия хи-квадрат Пир­сона. Результаты наблюдений представлены табл. 3.3 и гистограммой рис. 3.3.

Таблица 3.3

Номер разряда	Границы разряда ti – ti + 1, ч	Численность разряда mi
	0...300
	300...600
	600... 900
	900... 1200
	1200...1500
	1500...1800
	1800...2100
	2100...2400
	2400...2700
	2700...3000
	3000...3300
	более 3300

Рис..3. Гистограмма продолжительности работы ламп накаливания

Решение. Плотность предполагаемого распределения ; . Уровень значимости критерия примем α = 1 – β = 0,05. При оценке математиче­ского ожидания наработки на отказ M^* [ t ] берутся середины разрядов

По (3.14) вычисляем χ² = 4,495. Здесь: k = 12 – 3 = 9, . По таблицам [19] при α= 0,05 находим . Гипотеза о согласии с экспоненциальным законом распределения не отвергается. Отклонения малы.

Дата добавления: 2015-04-30