Модели надежности установок с восстановлением

Марковские процессы в задачах надежности. При экспоненциальном законе распределения времени восстановления и времени между отказами для расчета ПН установки с восстановлением используется математический аппа­рат марковских случайных процессов. Случайный процесс с дискретным множе­ством состояний называется марковском, если все вероятностные характери­стики будущего протекания этого процесса (при t > t ₀) зависят лишь от того, в каком состоянии этот процесс находится в настоящий момент времени t ₀, и не зависят от того, каким образом он протекал до момента t ₀ (в прошлом). Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «на­стоящее». Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в со­стояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс переходов будет марковским, с непрерывным временем.

Событие Х (t) = i означает, что в момент времени t процесс Х (t) находит­ся в состоянии S_i. Если переход из состояния S_i в состояние S_j отсутствует, то λ _{i , j} = 0. Если p_i (t) − вероятность пребывания системы в момент времени t в состоянии S_i, i = 0,1,2,..., т, то эти вероятности удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова:

Эти уравнения составляется по определенному правилу. Для каждого со­стояния S_i записывается уравнение, в левой части которого стоит производная от p_i (t), а в правой − сумма произведений вероятностей всех состояний, умно­женных на интенсивности перехода из этих состояний в состояние S_i. Произ­ведения, соответствующие выходам из состояний S_i берутся со знаком «-», а произведения, соответствующие входам в состояние S_i − со знаком «+».

Из системы уравнений Колмогорова можно получить модель функциони­рования анализируемой системы при длительной ее эксплуатации (t → ). При этом p_i (t) → p_i и → 0. Вероятности р_i называются стационарными или финальными вероятностями. Относительно этих вероятностей имеет место система линейных алгебраических уравнений:

которая должна решаться вместе с условием

Расчет надежности простейшей нерезервированной системы. На рис. 4.8. представлен граф простейшей системы с двумя состояниями: 1) Е ₁− элек­троустановка работоспособна, и вероятность застать ее в этом состоянии P ₁(t); 2) Е ₀ − электроустановка неработоспособна (в состоянии ремонта), и ве­роятность застать ее в этом состоянии P ₀(t). Ветвям графа приписаны постоянные интенсивности перехода из состояния в состояние за время dt:λ − интенсивность отказов, − интенсивность восстановления.

Рис. 4.8. Граф переходов для системы из двух состояний

Рассматриваемая система описывается двумя уравнениями Колмогорова, каждое из которых содержит столько членов, сколько ребер непосредственно связано с данным состоянием:

(4.10)

При начальных условиях P ₁(0) = 1, P ₀(0) = 0 и при условии, что состояния Е ₁и Е ₀ представляют собой полную группу событий, т.е. P ₁(t) + P ₀(t) = 1,реше­ние системы (4.10) имеет вид

При мгновенном восстановлении тогда P ₁(t) = 1. При отсутствии восстановления то есть, вероятность состояния Е ₁равна ВБР. При t → наступает стационарный режим системы (рис. 4.9) и вероятно­сти состояний Р (t)перестают зависеть от времени

(4.11)

Рис. 4.9. Зависимость вероятности работоспособного состояния от времени при различной интенсивности восстановления.

Здесь P ₁() − представляет оценку коэффициента готовности

(4.12)

При отсутствии резервирования восстановление повышает надежность в отношении готовности, вероятность безотказной работы не увеличивается.

Пример. Определить ПН кабельной линии 6 кВ l = 1 км, λ= 0,2 год^­1/км, длительность восстановления τ = 24 ч, сроке эксплуатации t = 10 лет.

Решение. Среднее время восстановления и средняя интенсивность отка­зов КЛ: ; , тогда . В соот­ветствии с (4.12): . ВБР: . Среднее время безотказной работы: .

Постоянное резервирование. При последовательном соединении эле­ментов интенсивность отказов системы может быть очень велика. Среднее вре­мя восстановления определяется как математическое ожидание времени вос­становления при отказах всех элементов. Оно зависит не только от времени восстановления, но и от вероятности их отказов.

В установке или системе с однократным резервированием (дублировани­ем) имеются два элемента. При отказе одного из них система работоспособна. Отказавший элемент восстанавливается. Если за время его восстановления вто­рой элемент не откажет, то опасный режим проходит без последствий. Если за время восстановления отказавшего элемента отказывает второй, то система те­ряет работоспособность до восстановления одного из отказавших элементов.

При постоянном резервировании и ограниченном восстановлении (вос­станавливаться может только один элемент) система может находиться в трех состояниях: 1) E ₂ – работоспособны оба элемента; 2) Е ₁– работоспособен только один из элементов; 3) E ₀ – оба элемента не работоспособны. Граф пере­ходов с обозначением их вероятностей за время dt представлен на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Граф переходов для системы из двух элементов с постоянным резервированием

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний:

, , .

(4.12)

Уравнения (4.12) решаются с помощью преобразования Лапласа при на­чальных условиях: P ₂(0) = 1, P ₁(0) = 0, P ₀(0) = 0. E ₂, E ₁, E ₀ –полная группа со­бытий и P ₂(t) + P ₁(t) + P ₀(t) = 1. Решение их имеет вид

,

где .

Вероятность застать систему в работоспособном состоянии

.

При t → ∞ процесс переходов стабилизируется, наступает установив­шийся режим и φ(t) перестает зависеть от времени

. (4.13)

Для определения ВБР граф переходов рис. 4.10 изменяется. См. рис. 4.11.

Рис. 4.11. Граф переходов системы с постоянным резервированием для оценки ВБР

При ранее принятых начальных условиях ВБР в течение t будет

, (4.14)

где ; ; ; .

Пример. Определить ПН СЭС при постоянном резервировании двух КЛ 6 кВ по исходным данным предыдущего примера.

Решение. По (4.13): . По (4.14): ; ; ; .

Резервирование замещением. При резервировании замещением (резерв­ный элемент отказывает после того как его включили после отказавшего основ­ного) и ограниченном восстановлении граф переходов представлен на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Граф состояний системы из двух элементов с резервированием замещением

Дифференциальные уравнения вероятностей состояний, для этого графа:

, , .

При ранее принятых начальных условиях решение для P ₀(t)имеет вид

,

где .

Вероятность застать систему (рис. 4.12) в одном из работоспособных со­стояний – φ(t) = 1 – P ₀(t), а при t → ∞:

(4.15)

Для определения ВБР граф переходов рис. 4.12 изменяется (рис. 4.13).

Рис. 4.13. Граф переходов системы с резервированием замещением для оценки ВБР

При тех же начальных условиях ВБР в течение t определяется как

, (4.16)

где ; ; ; .

Пример. Определить ПН СЭС при резервировании замещением двух КЛ 6 кВ по тем же исходным данным.

Решение. По (4.15) и (4.16): .

; ; ; .

Для системы КЛ резервирование замещением лишь незначительно повы­шает готовность. Предпочтение отдается постоянному резервированию, так как при нем вследствие снижения нагрева увеличивается долговечность кабеля.

Дата добавления: 2015-04-30