Основные понятия и определения теории надежности

Расчет

1. Элементы 4, 5, 6 и 7 образуют соединение «2 из 4», которое заменяем элементом А. Так как p ₄ = p ₅ = p ₆ = p ₇, то для определения вероятности безотказной работы элемента А можно воспользоваться выражением, в основе которого лежит формула биноминального распределения (биноминальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k – число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет p).

где – биноминальный коэффициент, называемый «числом сочетаний по k из n» (т. е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию k из n).

.

Поскольку для отказа системы «m из n» достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1, …, (m – 1):

Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы как сумму для k = m, m + 1, …, n:

.

В данном конкретном случае, при n = 4 и m = 2, вероятность безотказной работы элемента F определится выражением:

(1)

2. В исходной схеме элементы 10, 11 и 12 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом В. Учитывая, что p₁₀ = p₁₁ = р₁₂ получим:

(2)

3. Элементы 13 и 14 также образуют параллельное соединение, заменив которое элементом С и учитывая, что p₁₃ = p₁₄, получим:

(3)

7.

рис. 2 - Преобразованная схема

8. Элементы 2, 3, А, 8, 9 (рис. 2) образуют мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом D. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом минимальных путей. Логическая схема мостиковой системы по методу минимальных путей приведена на рис. 3

Система, изображенная на рис. 3 работоспособна до тех пор, пока работоспособны элементы 2 и 8 или 3 и 9, или – 2, А и 9, или – 3, А и 8. Таким образом, вероятность работы квазиэлемента D можно определить по формуле:

(4)

9.

Рис. 4 - Схема после преобразования

10. В преобразованной схеме (рис. 4) элементы 1, D, B, C и 15 образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы определяется выражением:

(5)

11. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 (рис. 1) подчиняются экспоненциальному закону:

(6)

12. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 – 15 исходной схемы по формуле (9) для наработки до 3·106 часов представлены в табл. 1:

Таблица 1

		Наработка, t – 100 000 ч
Элемент		0,5		1,5		2,5		2,25
	0,01	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970	0,9978
2, 3	0,1	0,9950	0,9900	0,9851	0,9802	0,9753	0,9704	0,9778
4 - 7		0,6065	0,3679	0,2231	0,1353	0,0821	0,0498	0,1054
8, 9	0,2	0,9900	0,9802	0,9704	0,9608	0,9512	0,9418	0,9560
10 - 12		0,6065	0,3679	0,2231	0,1353	0,0821	0,0498	0,1054
13, 14	0,5	0,9753	0,9512	0,9277	0,9048	0,8825	0,8607	0,8936
	0,3	0,9851	0,9704	0,9560	0,9418	0,9277	0,9139	0,9347
A	-	0,8282	0,4687	0,2173	0,0911	0,0361	0,0139	0,0577
B	-	0,9391	0,7474	0,5311	0,3535	0,2266	0,1420	0,2840
C	-	0,9994	0,9976	0,9948	0,9909	0,9862	0,9806	0,9887
D	-	1,0000	0,9997	0,9988	0,9972	0,9951	0,9928	0,9962
P	-	0,9241	0,7227	0,5037	0,3283	0,2058	0,1260	0,2609
B'	-	0,9994	0,9745	0,8673	0,6875	0,4960	0,3354	0,5898
P'	-	0,983447	0,94227	0,822595	0,638548	0,450478	0,297511	0,541728

13. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов А, В, С, D, по формулам (1) – (4) и также представлены в табл. 1.

14.

Рис. 5 - График зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t

15. По графику (рис. 5, кривая Р) находим для γ = 50% (Р = 0.5) γ-процентную наработку системы t = 1,5·10⁵ ч, расчет при t = 1,5·10⁵ ч показывает (табл. 1), что P _γ = 0,5037 ~ 0,5.

17. По условиям задания находим время, превышающее в 1,5 раза время, соответствующее вероятности безотказной работы, равное 0,5 (P _γ = 0,5):

. (10)

= 1,5·1,5·10⁶ = 2,25·10⁶ ч.

18. Расчет показывает (табл. 1), что при = 2,25·10⁵ ч для элементов преобразованной схемы (рис. 4) p₁ ( ) =0,9978, p_D ( ) =0,9962, p_B ( ) = 0,2840, p_C ( ) = 0,9887, p₁₅ ( ) = 0,9347. Следовательно, из пяти последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент В, и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

19. Для того чтобы при = 2.25 × 10⁵ ч система в целом имела вероятность безотказной работы P’ = 0,5, надо найти необходимую вероятность безотказной работы элемента F. Так как

где – необходимая вероятность безотказной работы элемента В, то

(11)

20. Для элемента В резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов достаточно сложно, так как число элементов должно быть целым и функция = f(n) дискретна.

21. Для повышения надежности параллельно добавляем элементы, идентичные по надежности исходным элементам 10 – 12, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента В не достигнет заданного значения:

- добавляем элемент 16, получаем:

- добавляем элемент 17, получаем:

- добавляем элемент 18, получаем:

- добавляем элемент 19, получаем:

- добавляем элемент 20, получаем:

22. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня, необходимо в исходной схеме (рис. 1) квазиэлемент В достроить элементами 16, 17, 18, 19 и 20 (рис. 6).

рис.6

23. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлемента «В'» и системы в целом Р’ представлены в табл. 1.

24. Расчеты показывают, что при t’ = 2,25×10⁵ ч, Р’ = 0,5417 > 0,5, что соответствует условию задания.

Расчет основной схемы

1. Построение основной схемы без резервных элементов осуществляется по основным элементам системы: 1, 2, 8, 10, 13, 15 (рис. 7) или 1, 2, А, 9, 12, 13, 15 (рис. 8), т.к. остальные элементы имеют такие же параметры, как и элементы, которые они резервируют:

рис. 7 - Первый вариант основной схемы

рис. 8 - Второй вариант основной схемы

2. Проверим вероятность безотказной работы первого и второго варианта основной схемы по формуле:

и (т.к. соединение последовательное)

Таблица 2

Вероятность	Время tх100000 с
0,5		1,5		2,5
Р1	0,5767	0,3325	0,1918	0,1106	0,0638	0,0368
Р2	0,3498	0,1223	0,0428	0,0150	0,0052	0,0018

3. Наибольшую вероятность безотказной работы имеет первый вариант основной схемы, значит в качестве основной схемы системы принимаем его. Произведем расчет для основной схемы системы.

Таблица 3

		Наработка, t – 100 000 ч
Элемент		0,5		1,5		2,5		0,63	0, 945
	0,01	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970	0,9994	0,9991
	0,1	0,9950	0,9900	0,9851	0,9802	0,9753	0,9704	0,9937	0,9906
	0,2	0,9900	0,9802	0,9704	0,9608	0,9512	0,9418	0,9875	0,9813
		0,6065	0,3679	0,2231	0,1353	0,0821	0,0498	0,5326	0,3887
	0,5	0,9753	0,9512	0,9277	0,9048	0,8825	0,8607	0,9690	0,9538
	0,3	0,9851	0,9704	0,9560	0,9418	0,9277	0,9139	0,9813	0,9720
P	-	0,9241	0,7227	0,5037	0,3283	0,2058	0,1260	0,4998	0,3533
10'	-	0,9391	0,6004	0,3965	0,2524	0,1574	0,0971	0,7815	0,6263
P'	-	0,8884	0,5373	0,3357	0,2021	0,1193	0,0696	0,7287	0,5639

рис. 9 - График зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t

4. По графику (рис. 9, кривая Р) находим для γ = 50% (Р = 0.5) γ-процентную наработку системы t = 0,63·10⁵ ч, расчет при t = 0,63·10⁵ ч показывает (табл. 1), что P _γ = 0,4998 ~ 0,5.

5. По условиям задания находим время, превышающее в 1,5 раза время, соответствующее вероятности безотказной работы, равное 0,5 (P _γ = 0,5):

. (10)

= 0,63·1,5·10⁵ = 0,945·10⁵ ч.

6. Расчет показывает (табл. 2), что при = 0,945·10⁵ ч для элементов преобразованной схемы (рис. 4) p₁ ( ) =0,9978, p_D ( ) =0,9962, p_B ( ) = 0,2840, p_C ( ) = 0,9887, p₁₅ ( ) = 0,9347. Следовательно, из пяти последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент В, и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

7. Для того чтобы при = 2.25 × 10⁵ ч система в целом имела вероятность безотказной работы P’ = 0,5, надо найти необходимую вероятность безотказной работы элемента F. Так как

где – необходимая вероятность безотказной работы элемента В, то

(11)

8. Для элемента В резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов достаточно сложно, так как число элементов должно быть целым и функция = f(n) дискретна.

9. Для повышения надежности параллельно добавляем элементы, идентичные по надежности исходному элементу 10, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента 10 не достигнет заданного значения:

- добавляем элемент 16, получаем:

рис. 10

10. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня, необходимо в исходной основной схеме квазиэлемент 10 достроить элементом 16 (рис. 10).

Критерий Колмогорова

1. При применении критерия согласия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между теоретической и экспериментальной функциями распределения.

На основе этого критерия, экспериментальное распределение согласуется
с выбранным теоретическим, если выполняется условие

где – наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной; n – общее количество экспериментальных данных.

2. В табл. 4 приведены вероятности отказов по экспериментальным данным и по теоретическому закону F(t).

Считаем закон распределения отказов экспоненциальным

Таблица 4

t,10^5 ч	0,5		1,5		2,5
	0,0759	0,2773	0,4963	0,6717	0,7942	0,8740
	0,2953	0,5034	0,6501	0,7534	0,8262	0,8775

3. Количество экспериментальных данных n = 15

По данным таблицы строим теоретическую и экспериментальную кривые (рис 11).

Рис. 11

Из рисунка и таблицы D F = 0.2261.

Проверяем по критерию согласия Колмогорова.

Считаем, что закон распределения отказов – экспоненциальный.

Критерий Колмогорова прост и нагляден.

Недостатком критерия является то, что он требует предварительного знания теоретического распределения, т. е. знания не только вида функции распределения F(t), но и ее параметров.

ВЫВОДЫ

1. По данным расчета вероятности безотказной работы системы от времени построен график P(t).

2. По графику найдено время, соответствующее 50% g-процентному ресурсу системы (t = 2,25 × 10⁵ ч).

3. Для увеличения наработки системы в 1,5 раза при 50% g -процентном ресурсе системы предложено нагруженное резервирование основных элементов 10, 11, 12 идентичными по надежности резервными элементами 16, 17, 18, 19 и 20.

4. Рассчитана вероятность безотказной работы системы с повышенной надежностью от времени, построен график P’(t) системы с повышенной надежностью, на графике (рис. 7) показано время (t’ = 2,25 × 10⁵ ч) соответствующее 50% g -процентному ресурсу.

Расчет надежности системы

1. Пусть есть система, представляющая собой соединение двух компьютеров с сервером. Можно выделить следущие элементы системы:

- База данных	- Персональный компютер	- Сервер
- Линия связи от ПК до свича	- Свич	- Программа
- Клиентская часть программы	- Линия связи с сервером

Под отказом системы будем предполагать отказ на запрос пользователя.

2. Из представленных элементов можно составить следущую схему системы:

рис. 1 - Структурная схема соединения элементов

3. Элементы 4 и 2 образуют последовательное соединение, заменив которое элементами А и И, получим:

4. Элементы В и С образуют параллелльное соединение, заменим его на соединение D:

5. Получаем схему следущего вида:

рис. 2 - Преобразованная стуктурная схема

6. Вероятность безотказной работы системы будет расчитываться как произведение всех элементов преобразованной системы, так как все элементы соединины последовательно:

7. Необходимо определить интенсивности отказов элементов системы. Время наработки примем равным .

8. Программная часть системы является самой надежной частью, при наличии защиты программной части от влияния пользователя отлаженная программа практически полностью исключает ошибки. Предположим, что интенсивность наработки на отказ программы и киентской части программы . Надежность базы данных зависит от надежности жесткого диска, на котором она хранится. Тогда, изучив документацию от производителя, можно воспользоваться их рассчетами и приянть интенсивность наработки на отказ равную . Наработку на отказ персональных компьютеров производители расчитывают и называют в пределах . Сервером является ПК с более мощными и современными параметрами, наработка на отказ наиболее современного компьютера на данный момент составляет . Наработку на отказ для кабелей длиной до 100 м при изгибах производители дают равной . Наработку на отказ соединительной линии к серверу примем так же равной . Самым уязвивым элементом системы является свич, наработка на отказ которого на прямую зависит от количества элементов, подключенных в него, поэтому интенсивность наработки на отказ свича примем равной

9. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 8 (рис. 1) подчиняются экспоненциальному закону: (1)

10. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 – 8 исходной схемы по формуле (1) для наработки до 3·10⁴ часов представлены в табл. 1:

Элемент	λ, 10^-6	Наработка, t 10000 ч
0,0050	0,0100	0,0150	0,0200	0,0250	0,0300
		0,9950	0,9900	0,9851	0,9802	0,9753	0,9704
	52,54	0,7690	0,5913	0,4547	0,3497	0,2689	0,2068
		0,8958	0,8025	0,7189	0,6440	0,5769	0,5169
	0,2	0,9990	0,9980	0,9970	0,9960	0,9950	0,9940
		0,7047	0,4966	0,3499	0,2466	0,1738	0,1225
	0,1	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970
	0,1	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970
	0,2	0,9990	0,9980	0,9970	0,9960	0,9950	0,9940
A		0,7682	0,5901	0,4533	0,3483	0,2675	0,2055
B		0,7682	0,5901	0,4533	0,3483	0,2675	0,2055
C		0,9463	0,8320	0,7012	0,5752	0,4635	0,3688
P		0,5932	0,3270	0,1727	0,0888	0,0449	0,0224

Рис. 3 - График зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t

Научная дисциплина, занимающаяся изучением общих закономерностей, обуславливающих методы расчета, проектирования, изготовления испытания и эксплуатации технических средств и систем с целью обеспечения большей надежности и эффективности от их использования, называется теорией надежности.

Основные понятия и определения теории надежности сформулированы в государственном стандарте (ГОСТ 27.002-89) «Надежность в технике. Основные понятия, термины и определения».

Рассмотрим основные понятия и термины.

Объект – техническое изделие определенного целевого назначения, рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и эксплуатации. Таким образом, в качестве объекта могут выступать сложные системы сбора, передачи, обработки и хранения информации, приборы и даже отдельные радиоэлектронные элементы.

Система – объект, представляющий собой совокупность элементов, взаимодействующих в процессе выполнения определенного круга задач и взаимосвязанных функционально.

Элемент системы – объект, представляющий собой простейшую часть системы, отдельные части которого не представляют самостоятельного интереса в рамках конкретного рассмотрения.

Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания ремонтов, хранения и транспортировки.

Надежность является одной из важнейших характеристик качества объекта – совокупности свойств, определяющих пригодность использования его по назначению. Обычные характеристики качества объекта, такие, как быстродействие, производительность, пропускная способность, емкость памяти, мощность потребления и др., измеряются для некоторого момента времени («точечные» характеристики качества).

Надежность характеризует зависимость «точечных» характеристик качества либо от времени использования, либо от наработки объекта. Надежность информационных систем – характеристика временная. Она может быть ориентирована либо на прошедшее время (в этом случае говорят: объект до данного момента времени проработал какое-то количество часов, поэтому он обладал таким-то показателем надежности), либо в будущее время (в этом случае говорят: данный объект, если он будет использоваться в предписанных условиях, будет обладать такой-то надежностью).

Вывод о качестве объекта может быть сделан только тогда, когда учитываются и «точечные» характеристики качества и сохранение их в течение заданного интервала времени или заданной наработки. Нельзя, например, говорить о качестве вычислительного комплекса по информации о его быстродействии и емкости памяти, если ничего не известно о его надежности. Точно так же нельзя говорить о качестве комплекса, если известно только то, что он обладает высокой надежностью

Стороны надежности. К частным свойствам объекта, являющимися отдельными сторонами его надежности, относятся:

1. Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки.

2. Ремонтопригодность - свойство объекта, заключающееся в приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта.

3. Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания.

4. Сохраняемость -свойство объекта сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих способность объекта выполнять требуемые функции, в течение и после хранения и (или) транспортирования.

Перечисленные выше свойства (стороны надежности) – являются общепризнанными и рекомендуются для широкого класса объектов. Однако для информационных систем оказалось, что этих свойств для характеристики надежности недостаточно. Рассмотрим ряд других свойств.

· Живучесть - свойство объекта сохранять работоспособность (полностью или частично) в условиях неблагоприятных воздействий, не предусмотренных нормальными условиями эксплуатации. Оно может быть сформулировано, например, следующим образом: «выполнять заданные функции на заданном интервале времени после разрушающего воздействия», «сохранять частичную работоспособность после разрушающего воздействия» и т.д.

· Достоверность информации, выдаваемой объектом. При работе вычислительной машине или тракта передачи информации могут отсутствовать отказы. Поэтому объект может обладать высокой безотказностью, хорошей долговечностью, сохраняемостью и ремонтопригодностью. Однако в нем могут иметь место сбои, искажающие информацию. В объекте «ломается», «портится» не аппаратура, а информация.

Виды надежности. При исследовании надежности часто ставится задача определить причины, приводящие к появлению той или другой стороны надежности. Это приводит к делению надежности на:

аппаратурную надежность, обусловленную состоянием аппаратуры;

программную надежность объекта, обусловленную состоянием программ;

надежность объекта обусловленную качеством обслуживания и надежность функциональную.

Особого внимания заслуживает «программная надежность». Без программного обеспечения вычислительный комплекс или тракт передачи данных – это «мертвый» набор технических устройств, который «оживает» тогда и только тогда, когда он используется как единое целое с программой.

Надежность функциональная – надежность выполнения отдельных функций, возлагаемых на информационную систему (надежность передачи, ввода, отображения информации и т.п.)

В основе понятия надежности объекта лежит понятие состояния объекта.

Дата добавления: 2015-04-30