Решение. Решение типовых задач

Решение типовых задач

Обработка результатов наблюдений при совокупных и совместных измерениях

Рекомендуемая литература: [1, с.211-220], [2, с.167-172], [3, с.6-10, 12].

Методические указания

При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:

- отличие cовокупных и совместных измерений от прямых и косвенных;

- примеры совокупных и совместных измерений;

- суть метода наименьших квадратов и использование этого метода при составлении системы нормальных измерений.

Контрольные вопросы

1 Что такое совокупные измерения?

2 Чем совместные измерения отличаются от совокупных?

3 Что собой представляет система исходных уравнений?

4 Что такое невязка уравнений связи?

5 Объясните суть метода наименьших квадратов.

6 Каким образом составляется система нормальных уравнений и какие известны методы ее решения?

Задача № 1

Совокупные измерения углов трехгранной призмы выполнены с трехкратным повторением наблюдений. Результаты наблюдений следующие:

a₁ = 89^°55¢; b₁ = 45^°5¢; g₁ = 44^°57¢;

a₂ = 89^°59¢; b₂ = 45^°6¢; g₂ = 44^°55¢;

a₃ = 89^°57¢; b₃ = 45^°5¢; g₃ = 44^°58¢.

Найти с доверительной вероятностью Р_д = 0,95 результаты совокупных измерений углов a, b, g.

Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:

a₀ = = 89^°57¢; b₀ = = 45^°5.33¢; g₀ = = 44^°56,67¢.

Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию a + b + g = 180^°.

У нас же получилось a₀ + b₀ + g₀ = 179^°59¢.

Это несовпадение - результат погрешностей измерений. Необходимо изменить полученные значения a₀, b₀, и g₀ с тем, чтобы точно известное условие было выполнено.

Примем a = a₀ + D_a; b = b₀ + D_b; g = g₀ + D_g, и будем искать значения поправок D_a, D_b, D_g.

Получаем:

D_a1 = a₁ - a₀ = -2¢; D_b1 = b₁ - b₀ = -0.33¢; D_g1 = g₁ - g₀ = +0.33¢;

D_a2 = a₂ - a₀ = +2¢; D_b2 = b₂ - b₀ = +0.67¢; D_g2 = g₂ - g₀ = -1.67¢;

D_a3 = a₃ - a₀ = 0¢; D_b3 = b₃ - b₀ = -0.33¢; D_g3 = g₃ - g₀ = +1.33¢.

Уравнение связи имеет вид a₀ + D_a + b₀ + D_b + g₀ + D_g = 180^°.

Следовательно, D_a + D_b + D_g = 180^° - 179^°59¢ = 1¢.

Исключим из исходных уравнений Dg, пользуясь соотношением D_g=1¢ - D_a-

- D_b, и в каждом уравнении укажем оба неизвестных. Получаем следующую систему исходных уравнений:

A₁ × D_a + B₁ × D_b = D_a1; A₄ × D_a + B₄ × D_b = D_b1;

A₂ × D_a + B₂ × D_b = D_a2; A₅ × D_a + B₅ × D_b = D_b2;

A₃ × D_a + B₃ × D_b = D_a3; A₆ × D_a + B₆ × D_b = D_b3;

A₇ × D_a + B₇ × D_b = 1¢ - D_g1; A₈ × D_a + B₈ × D_b = 1¢ - D_g2;

A₉ × D_a + B₉ × D_b = 1¢ - D_g3,

где

A₁ = 1; B₁ = 0; A₄ = 0; B₄ = 1; A₇ = 1; B₇ = 1;

1 - Dg₁ = +0,67¢;

A₂ = 1; B₂ = 0; A₅ = 0; B₅ = 1; A₈ = 1; B₈ = 1;

1 - Dg₂ = +2,67¢;

A₃ = 1; B₃ = 0; A₆ = 0; B₆ = 1; A₉ = 1; B₉ = 1;

1 - Dg₃ = - 0,33¢,

т.е.

1 × D_a + 0 × D_b = -2¢; 0 × D_a + 1 × D_b = - 0,33¢;

1 × D_a + 0 × D_b = +2¢; 0 × D_a + 1 × D_b = +0,67¢;

1 × D_a + 0 × D_b = 0; 0 × D_a + 1 × D_b = - 0,33¢;

1 × D_a + 1 × D_b = +0,67¢; 1 × D_a + 1 × D_b = +2,67¢;

1 × D_a + 1 × D_b = - 0,33¢.

Теперь составим систему нормальных уравнений:

A₁₁ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; A₁₂ = 1 + 1 + 1 = 3;

A₂₁ = 1 + 1 + 1 = 3; A₂₂ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6;

C₁ = -2¢ + 2¢ +0.67¢ + 2,67¢ - 0,33¢ = +3¢;

C₂ = -0,33¢ + 0,67¢ - 0,33¢ + 0,67¢ + 2,67¢ - 0,33¢ = +3¢.

Следовательно, нормальные уравнения примут вид

6 × D_a + 3 × D_b = 3¢;

3 × D_a + 6 × D_b = 3¢.

Вычислим определители Д, и :

;

;

и находим .

Следовательно, и .

Подставляя полученные оценки в исходные уравнения, вычислим невязки:

u₁ = 2,33¢; u₄ = 0,67¢; u₇ = 0;

u₂ = -1,67¢; u₅ = -0,33¢; u₈ = -2¢;

u₃ = 0,33¢; u₆ = 0,67¢; u₉ = 1¢.

Вычислим оценки с.к.о. результатов совокупных измерений: Д₁₁ =6; Д₂₂ = 6 (алгебраические дополнения элементов определителя Д):

.

Ввиду равноточности исходных уравнений и равенства оценок , , , можно не делать повторных вычислений, а записать, что .

Оценим доверительные границы погрешностей измерения. Для Р_д = 0,95 и t_p = 1,96:

.

Окончательно можно записать результаты измерений:

a = 89°57,3¢ ± 1,4¢; b = 45°5,7¢ ± 1,4¢; g = 44°57¢ ± 1,4¢; P_д = 0,95.

Задача № 2

Найти с доверительной вероятностью P_д = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 22 с его температурой

R(t) = R₀ × (1 + A × t + B × t² + C × t³).

При этом для t₀ = 0°C, R₀ = 100,00 Oм; t₁ = -50°C, R₁ = 80,00 Oм; t₂ = 30°C, R₂ = 111,85 Oм; t₃ = 60°C, R₃ = 123,60 Oм; t₄ = 90°C, R₄ = 135,24 Oм; t₅ = 120 °C, R₅ = 146,78 Oм.

Дата добавления: 2015-04-30