Статистический анализ результатов испытаний древесины

Показатель X, характеризующий любое физико-механическое свой­ство древесины, отличается большой изменчивостью. Результаты его из­мерений при повторении испытаний оказываются различными. Поэтому исчерпывающее представление о данном показателе можно было бы полу­чить по результатам испытаний бесконечно большого числа образцов. Все множество полученных таким образом значений данного показателя назы­вается генеральной совокупностью. Эту статистическую сово­купность характеризует ряд параметров. Генеральное среднее , т.е. среднее арифметическое по всему множеству значений, - основной пара­метр совокупности. Генеральная дисперсия σ² и генеральное среднее квадратическое отклонение σ характеризуют меру рассеяния единичных результатов наблюдений, т. е. абсолютную величину их разброса вокруг среднего значения. Генеральный вариационный коэффициент V выражает в относительных величинах изменчивость единичных результатов по срав­нению со средним значением. Экспериментальным путем точно опреде­лить указанные параметры нельзя; можно лишь приближенно оценить их, используя результаты наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности - выборку. Чем больше объем выборки, т. е. чем больше число объектов п, тем точнее оценки, поскольку

, (73)

где - выборочное среднее; S² - выборочная дисперсия.

Для выборочной совокупности, состоящей из результатов испыта­ний однородных, т. е. не подлежащих дальнейшему делению, элемен­тарных объектов определяют статистические параметры по следующим формулам:

выборочное среднее

, (74)

где х_і - результат единичного испытания;

выборочная дисперсия

; (75)

среднее квадратическое отклонение

; (76)

выборочный вариационный коэффициент, %

; (77)

дисперсия выборочного среднего

; (78)

среднее квадратическое отклонение выборочного среднего

; (79)

относительная погрешность определения генерального среднего с доверительной вероятностью α

. (80)

Тогда доверительный интервал генерального среднего определяется соотношением

. (81)

Входящий в уравнения (80) и (81) квантиль распределения Стьюден­та t_α используют при ограниченном объеме выборки. В данном случае он характеризует отклонение значения случайной величины от ее среднего значения , отнесенное к среднему квадратическому отклонению S . Значение коэффициента t_α существенно зависит от объема выборки п (при п < 31) и требуемой доверительной вероятности α; его можно найти в таблице приложения к ГОСТ 16483.0-78 или в других изданиях.

Пример. При испытании 25 образцов древесины сосны на сжатие вдоль волокон для этой выборки были определены следующие статистические характеристики преде­ла прочности = 48 МПа, S = 5,76 МПа и S = 1,15 МПа. При доверительной вероят­ности 0,95 и п = 25 квантиль распределения Стьюдента t_a =2,064. Следовательно, относительная погрешность определения генерального среднего в этом случае согласно (80) составляет 4,95 %, а его доверительный интервал в соответствии с (81) равен 48±2,37 МПа. Это означает, что генеральное среднее предела прочности при его опре­делении по любым другим подобным выборкам в 95 случаях из 100 окажется в диапа­зоне 45,63-50,37 МПа

Количество объектов испытаний (образцов)

. (82)

В древесиноведении принято оценивать генеральное среднее при до­верительной вероятности 0,95 с относительной погрешностью d_α = 5 %, если коэффициент вариации υ < 20 %, и с погрешностью d_α = 10 %, если υ > 20 %. Для предварительного определения минимального количества образцов принимают ориентировочные значения коэффициента вариации, равные, например, для пределов прочности при сжатии вдоль волокон 13 %, при статическом изгибе 15%, а для ударной вязкости 32 %. Более полные данные о коэффициентах вариации приведены в таблицах ССД «Древесина. Показатели физико-механических свойств малых образцов без пороков». Квантиль Стьюдента находят, задавшись предполагаемым зна­чением п. Если рассчитанное по формуле (82) значение п окажется больше или меньше предполагаемого, расчет повторяют до тех пор, пока различие между ними будет не более 1. Каждый раз при этом t_α принимают соот­ветствующим п, полученному в предыдущем расчете.

В том случае, когда количество образов в выборке превышает 31, вместо квантиля распределения Стьюдента в формулу (82) подставляют квантиль нормального распределения.

Если по результатам испытаний данной серии из п образцов будет получен такой коэффициент вариации υ, что относительная погреш­ность d_α окажется больше допустимой, по формуле (82) устанавливают необходимый новый объем выборки, исходя из фактического значения v. Для этого испытывают дополнительное количество образцов или проводят повторные испытания.

Описанный порядок статистической обработки результатов испыта­ний выполняется при так называемом одностадийном отборе однородных объектов для формирования выборки. Часто генеральная совокупность значений данного показателя свойств древесины должна характеризовать сложные неоднородные структуры (насаждение, дерево, партия пиломате­риалов и т. д.). В этих случаях следует применять многостадийный способ формирования выборки, проводя на каждой (или хотя бы на первой) ста­дии случайный отбор естественно образованных сложных, затем простых групп и, наконец, отдельных однородных элементов структуры, например, в такой последовательности: модельное дерево - кряж — образец для испы­таний или доска - брусок (заготовка) - образец.

Многостадийный отбор позволяет обеспечить заданную точность статистического обследования при сокращенном количестве использован­ных деревьев, кряжей, досок. Это достигается за счет учета дисперсии в пределах объектов каждой стадии отбора. При установлении объема вы­борки на каждой стадии отбора учитываются расходы, обусловленные стоимостью объекта, затратами на его изготовление и испытания.

При двухстадийном отборе (например, сначала досок из партии, а за­тем образцов из доски) количество отдельных элементов (образцов), отби­раемых на второй стадии,

; (83)

число отбираемых на первой стадии групп элементов (досок)

. (84)

В формулах (83) и (84) S и υ (дисперсия и коэффициент вариации) при двухстадийном отборе характеризуют рассеяние между группами элементов на первой стадии отбора (второй индекс - единица) или рас­сеяние между образцами на второй стадии (второй индекс - двойка). Ли­терами С₁₂ и С₂₂ обозначены расходы соответственно на группу и от­дельный элемент. Первый индекс при S, υ и С, а также при п указывает, что отбор двухстадийный.

При многостадийном отборе изменяется статистический анализ ре­зультатов испытаний. В случае двухстадийного отбора вычисляют выбо­рочное среднее

, (85)

где i - номер группы (доски); у - номер элемента (образца).

Дисперсия выборочного среднего

, (86)

где - среднее і – группы.

Используя указанные параметры, по формуле (81) находят доверительный интервал генерального среднего.

Пример. Для определения плотности древесины партии досок отобрали случай­ным образом четыре доски (п ₂ = 4) и из каждой изготовили по три образца (r = 3), Результаты испытаний, кг/м³: х_1j =580, 580, 508; х_2j =455, 447, 433; х_3j =471, 492, 460; х_4j = 427, 400, 389. Сумма всех значений плотности = 5642. Тогда выборочное среднее согласно (85) равно = 5642/(4·3) = 470,2 кг/м³. Сумма квад­ратов отклонений средних значений _і, плотности досок от выборочного среднего равна =12230,55. Отсюда согласно (86) дисперсия выборочного среднего равна = 12230,55/[(4-l)4] = 1019,2, а среднее квадратическое отклонение S = 31,9 кг/м³. Если же обработать приведенные выше результаты испытаний, используя формулы (74), (75), (79), то искомая характеристика оказывается значительно больше S =6 1,5 кг/м³.

Дата добавления: 2015-04-30