Суммирование погрешностей. Основы теории расчетного суммирования погрешностей. Суммирование случайных и систематических погрешностей. Критерий ничтожно малой погрешности 1 страница

Систематические погрешности. Классификация систематических погрешностей. Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей.

Систематической D_S называют составляющую погрешности измерения, остающуюся постоянной или закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематические погрешности разделяются на постоянные и переменные (рис. б, в).

Постоянные систематические погрешности остаются неизменными в течение всей серии данных измерений, например погрешность из-за неточной градуировки, погрешность из-за неточной установки нуль-сигнала прибора и т.п.

Переменные систематические погрешности закономерно изменяются в процессе измерений: плавно, периодически или по сложному закону.

Значения периодическихсистематических погрешностей являются периодической функцией времени или другой физической величины. Например, погрешность, вызванная изменениями контактного сопротивления коллектора подъемника при записи потенциалов ПС.

При скважинных геофизических измерениях одновременное воздействие нескольких не измеряемых, но влияющих величин приводит к более сложному закону изменения систематической погрешности. Такова, напри- мер, погрешность, вызванная одновременными изменениями глубины и температуры в скважине и др.

y (t)

г

в

а

б

Рис. 5. Изменение значений погрешностей во времени:

а – случайная, б, в – систематические, г – прогрессирующая погрешности

Очевидно, что закономерный характер систематической погрешности открывает возможности ее уменьшения. При этом следует иметь в виду, что сложную задачу может представлять собой уже обнаружение систематических погрешностей.

Ряд постоянных систематических погрешностей внешне себя ничем не проявляет. Обнаружить их можно, например, путем сравнения рабочих СИ с образцовыми.

1. Случайные погрешности. Вероятностное описание случайных погрешностей. Законы распределения случайных погрешностей. Энтропийное значение погрешности.

Случайной называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников помех, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерений, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным. Случайная погрешность не может быть исключена из результата измерения, но может быть уменьшена путем статистической обработки результатов многократных (повторных) измерений.

Вероятностное описание случайных погрешностей: Вероятностной характеристикой дискретной, случайной величины является функция ее распределения, показывающая, с какой вероятностью случайная величина принимает те или иные числовые значения. В качестве вероятностной характеристики случайной величины используют понятие дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью вероятности. Плотность вероятности р (х) есть предел отношения вероятности D F (x) того, что возможные значения величины х находятся в интервале от х до ±D х к длине интервала D х, когда D х стремится к нулю: р (х) = dF (x)/ dx.

Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

где F (x) – интегральная функция распределения. Таким образом, вероятность попадания величины х в интервал [-¥; +¥] равна единице и представляет собой достоверное событие. Графики дифференциальной и соответствующей интегральной функций распределения приведены на рис. 1.

По форме кривой плотности вероятности р (х) можно судить о том, какие значения случайной величины х наиболее вероятны, а какие наименее.

Основные законы распределения: Равномерное распределение имеют погрешности: квантования в цифровых приборах, округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, определения момента времени для каждого из концов временного интервала при измерении частоты и периода методом дискретного счета и, как правило, не исключенные систематические погрешности, возникающие при калибровке.

Трапецеидальное распределение образуется как композиция двух равномерных распределений шириной а ₁ и а ₂.

Треугольное (Симпсона) распределение – это частный случай трапецеидального, для которого размеры исходных, равномерных распределений одинаковы: а ₁ = а ₂.

Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса. В практике геофизических исследований скважин нормальному закону распределений подчиняются погрешности результатов измерений, выполняемых сложной аппаратурой. Нормальный закон распределения характерен для акустических исследований, радиометрии скважин при больших скоростях счета, результаты измерений аппаратурой электрометрии подчиняются логарифмически нормальному распределению погрешностей.

Семейство распределений Стьюдента описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из n случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений.

Энтропийное значение погрешност и: смысл измерения состоит в сужении интервала неопределенности от значения, известного до его проведения, до величины d, называемой энтропийным интервалом неопределенности, ставшей известной после измерения. Энтропийный интервал определяется, по формуле d=2D_э=exp(Н(х/х_д))

, где D_э – энтропийное значение погрешности; – энтропия действительного значения х измеряемой величины вокруг полученного после измерения значения х _д, т.е. энтропия погрешности измерений; р (х) – плотность распределения вероятности измеряемой величины.

Основное достоинство информационного подхода к описанию измерений состоит в том, что размер энтропийного интервала неопределенности может быть найден строго математически для любого закона распределения.

1. Грубые погрешности и методы их исключения. Критерии исключения грубых погрешностей. Критерии “трех сигм”, Романовского, Шовенэ.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора, а также при кратковременных, резких изменениях условий проведения измерений (сбои в работе прибора, удары прибора о стенки скважины и т.п.).

Если грубые погрешности и промахи обнаруживают в процессе измерений, то результаты, содержащие их, отбрасывают. При проведении ряда одинаковых измерений всегда будет некоторый разброс его результатов. При этом могут встретиться измерения с большими случайными ошибками, которые являются естественными статистическими отклонениями. Их незаконное отбрасывание (считая их промахами) может необоснованно завысить и сделать фиктивной точность всего ряда измерений.. Поэтому в процессе обработки результатов наблюдений промахи надо выявлять и исключать из дальнейшего анализа.

Наиболее простой способ исключения грубых ошибок х _k основан на том, что вероятность появления значения, уклоняющегося от среднего арифметического более чем на 3s, равна 0,003, и поэтому результаты, вероятность получения которых меньше 0,003, можно считать промахом. В некоторые виды задач вводят условие исключения результата, у которого |D_i|>2s. При этом и s вычисляют по формулам, в которые не входит значение х _k. Поэтому число всех измерений равно n -1. Результат измерения х _k должен быть отброшен, если (х _k - ) > 3s.

Однако вследствие того, что рассчитывают не s, а , а также в тех случаях, когда грубый промах не один, а их несколько, а также при небольшом числе измерений критерий 3s ненадежен.

Если распределение погрешностей измерений можно считать нормальным, то грубые промахи исключают, основываясь на критериях Шовине, Романовского, Ирвина и др. Выбор критерия зависит от вероятности принятия гипотезы нормального распределения и точности результатов обработки наблюдений (известны или нет генеральное среднее квадратическое отклонение и генеральное среднее).

НО если неизвестно генеральное СКО, то вычисляют выборочное среднее и выборочное СКО по форм. х=1/nΣx_i, σ = √Σ(х_i-x)²/(n-1).

Чтобы принять решение об исключении или оставлении х_n в составе выборки находят отношение u_n=(х_n-x)/ σ. Результат сравнивают с критерием Романовского β. Если u_n≥ β, то сомнительный результат х_n исключают. Результат х₁ оценивают аналогично.

13. Виды измерений. Классификация измерений: прямые, косвенные, совместные, совокупные; равноточные и неравноточные, одно- и многократные, статические и динамические, методические и технические.

В зависимости от способов получения числовых значений измеряемых величини их погрешностей все измерения делят на прямые, косвенные, совокупные и совместные. Целью такого деления является удобство при разработке методик выполнения измерений и обработки результатов.

Прямыми - измерения, при которых искомые значения величины находят непосредственно по показаниям средства измерений. Существенный признак: результат выражается непосредственно в тех же единицах, что и измеряемая величина. Скважинные измерения относят к прямым, если результат измерений получают непосредственно по шкале диаграммной ленты или по показаниям табло цифрового регистратора.

Косвенными - измерения, при которых значения величин находят по известной зависимости между измеряемой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений. В общем случае зависимость, связывающую измеряемую величину y и величины x ₀, x _i,..., x _n можно представить в виде явной функциональной зависимости. По виду функциональной зависимости различают косвенные измерения с линейной и нелинейной зависимостями. Вид связи между y и x определяет методику расчета погрешностей косвенных измерений.

Совокупными называют одновременно выполняемые измерения двух или нескольких одноименных величин, при которых значения искомых величин находят решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях. Например, определения значения уэс пласта по результатам измерений кажущихся значений уэс градиент зондами различного размера при условии, что диаметр скважины, уэс промывочной жидкости заранее известны.

Совместными называют одновременно выполняемые измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения функциональной зависимости между ними. В практике геофизических исследований скважин применяются при градуировке СИ и для получения петрофизических связей. Например, совместными измерения являются измерения уэс горных пород, насыщающих их пластовых вод и коэффициентов пористости горных пород для нахождения зависимости относительного сопротивления от коэффициента пористости.

По точности измерения делятся на равноточные и неравноточные. Методика обработки результатов равноточных и неравноточных измерений различна.

В зависимости от числа измерений, проводимых во время эксперимента, различают одно- и многократные измерения. Известно, что при числе отдельных измерений более четырех их результаты могут быть обработаны в соответствии с требованиями математической статистики. Это означает, что при четырех и более измерениях, входящих в ряд, измерения можно считать многократными. Их проводят с целью уменьшения случайной составляющей погрешности.

В зависимости от влияния скорости изменения измерительной информации на результат измерения, в частности скорости движения скважинного прибора, измерения делятся на статические и динамические. Признаком, по которому измерение относят к статическому или динамическому, является динамическая погрешность при данной скорости или частоте изменения измеряемой величины и заданных динамических свойствах СИ. Если динамическая погрешность пренебрежимо мала для решаемой измерительной задачи, то измерение можно считать статическим (квазистатическим). При невыполнении указанных требований оно является динамическим.

По степени влияния условий измерений различают методические и технические измерения. При методических измерениях в обязательном порядке учитываются погрешности, а при технических – принимается погрешность, указанная в паспорте средства измерения или в нормативно-технической документации. Поэтому при технических измерениях нет необходимости определять и анализировать погрешности получаемых результатов.

1. Динамические измерения и характеристики. Динамические свойства геофизических средств измерений. Динамические характеристики и их классификация.

Динамическими называются свойства средств измерений, которые сказываются только при изменении измеряемого сигнала во времени и проявляются в том, что входной сигнал обусловливает выходной сигнал этого средства измерения в последующие моменты времени.

Динамическая погрешность зависит не только от принципа действия и конструкции СИ, но и от характера изменения во времени измеряемой величины, она проявляется как по оси измеряемой величины, так и по оси времени (глубины).

Динамическая составляющая погрешности измерений, обусловленная динамическими свойствами используемых средств измерений может быть постоянной или зависеть от изменений динамических параметров средства измерения. Отклонения параметров могут быть как регулярными – детерминированными, и тогда нужно говорить о систематической, или регулярной, динамической погрешности, так и нерегулярными – случайными, в этой случае они вызывают появление случайной динамической погрешности.

Большинство средств для динамических измерений могут работать как в статическом, так и в динамическом режимах. Для них нормальными условиями применения следует считать регламентированные в установленном порядке условия применения в статическом режиме. Поэтому для указанных средств измерений их динамическая погрешность является дополнительной.

В практике ГИС в большинстве случаев проводят измерения изменяющихся по глубине (соответственно по времени) физических величин. Такие измерения называют измерениями в динамическом режиме. При измерении скважинными радиометрами, термометрами, расходомерами и др. в динамическом режиме влияние динамических свойств СИ на результат измерения существенно.

Динамические характеристики и их классификация

Динамической – называется метрологическая характеристика СИ, отражающая связь переменного выходного сигнала с информативным или неинформативным параметром входного сигнала или влияющей величиной. Характеристики можно разделить по принципу полноты.

Полная динамическая характеристика однозначно определяет изменение выходного сигнала СИ при любом изменении во времени информативного или неинформативного параметра входного сигнала или влияющей величины. Полными характеристиками являются дифференциальное уравнение, передаточная функция, переходная и импульсная переходная, амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные характеристики. Наиболее полной динамической характеристикой является дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение связывает выходную величину y (t) с входной x (t). Это уравнение в общем виде можно записать следующим образом

(a _n + a _n-1 +... +1) y = (b _n + b _n-1 +... +1) x (1)

Передаточная функция S (p) – это отношение преобразования Лапласа выходного сигнала СИ к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях. Уравнение можно записать в следующем виде: y = S (p) x = (42) где S (p) – передаточная функция или операторная чувствительность, a S ₀ – статическая чувствительность, т.е. чувствительность к постоянной входной величине.

Передаточная функция S (p), также как и диф уравнение – подробные, но мало наглядные характеристики динамических свойств, к тому же их трудно определить экспериментально.

Реакция y (t) средства измерения на воздействие в виде единичного скачка называется переходной характеристикой h (t). Скачкообразному воздействию (рис1) на практике подвергаются термометры, погружаемые в среду с отличной от первоначальной температурой; вольтметры, подключаемые к различным точкам измерительной цепи. Для СИ с дифференциальным уравнением первого порядка характерна переходная характеристика апериодического вида.

Частная динамическая характеристика отражает лишь часть динамических свойств СИ, поэтому она не может быть использована для точного априорного оценивания и для коррекции динамических погрешностей. Позволяет решать только задачи сравнения и, в определенных случаях, выбора средства или скорости измерений. Главное назначение частных характеристик заключается в обеспечении единообразия средств измерения данного типа.

1. Обработка результатов прямых многократных измерений. Идентификация закона распределения результатов измерений. Составной критерий.

При статистической обработке результатов прямых многократных наблюдений выполняют исключение грубых промахов, систематических погрешностей из результатов наблюдений и вычисляют показатели точности.За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки исключающие систематические погрешности. Поправки определяют экспериментально при калибровке средств измерений или по результатам специальных исследований. При обработке необходимо определить оптимальное число поправок, которые следует вводить в результаты наблюдений для получения более достоверных сведений об истинном значении измеряемой величины.

Оценка СКО результата наблюдения. Несмещенной, состоятельной, эффективной оценкой для генерального среднего нормального распределения является выборочное среднее , определяемое по формуле

(1) где x ₁, x ₂,... x _n – совокупность значений случайных величин x.

Несмещенную оценку среднего квадратического отклонения (СКО) s для n > 60 определяют по формуле

, если s неизвестно, и ,если s известно.

Для n < 60 несмещенную оценку СКО получают путем умножения s на коэффициент M _к, значение которого изменяется в диапазоне от 1,25 до 1,00 соответственно при n = 2 и n = 60.

СКО результата измерения оценивают по формуле

,где – оценка СКО результата измерения; – результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений); х _i – i-й результат наблюдений.

Невесь!!

1. Обработка результатов косвенных измерений. Случайные и систематические погрешности косвенных измерений.

В результате косвенных измерении определяется значение физической величины, связанной с другими z=f(a₁,a₂,...a_m). Пусть каждая из вел-н а_j измерена с погрешностью Δ а_j. Нужно оценить зн-ие погрешности Δz результата косвенных измерений.

Рассматривая как функцию m переменных а_j запишем полный дифференциал dz=Σ(ðf/ðа_j)da_j (1) ->Δz= Σ(ðf/ðа_j)Δa_j (2), где ðf/ðа_j – коэффициент влияния соответствующей погрешности Δa_j. (ðf/ðа_j)Δa_j – частная погрешность, доля общей погрешности Δz.

Если известны систематические погрешности Δa_j результата прямых измерений величин a_j, то по (2) вычисляем систематическую погрешность Δz. Если (ðf/ðа_j)Δa_j имеют разные знаки, то происходит частичная компенсация погрешностей.

Оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть a_j измерены со случайными погрешностями Δj, имеющими нулевые математические ожидания М[Δj]=0 и дисперсии σ_j². Используя (2) запишем выр-ие для дисперсии погрешности Δz, если Δj некоррелированы σ²[Δz]= Σ(ðf/ðа_j)²σ_j² (3)

1. Обработка результатов совместных измерений. Метод наименьших квадратов.

Совместные измерения в промыслово-геофизической практике применяют при исследовании петрофизических связей, градуировке геофизической аппаратуры и т.д. Порядок реализации: выполнение определенного числа измерений для получения результатов с заданной вероятностью, исключение грубых промахов, графическое представление результатов измерений с оценкой характера погрешностей, составление уравнения номинальной градуировочной характеристики средства измерения, исследование состава погрешности средства измерения, расчет основных метрологических характеристик.

МНКвыполняет статистическую обработку результатов совместных измерений. Суть метода - экспериментатор имеет возможность заранее выбрать значение входной величины x или изменять (регулировать) входную величину так, чтобы установить прибор на отметку х. При фиксированной входной величине х измеряется соответствующее значение выходной величины у. При использовании метода наименьших квадратов коэффициенты у ₀ и S градуировочной характеристики находят из условия минимума взвешенной суммы квадратов отклонений экспериментальных точек от прямой

у = у ₀+ S×х. (1) Коэффициенты линейной регрессии: чувствительность S и нуль-сигнал аппаратуры у ₀, либо аддитивную составляющую систематической погрешности измерений, получают по следующим формулам: ;(2)

Коэффициенты параболической регрессии по методу наименьших квадратов определяют из системы уравнений:

æ aA ₄ + bA ₃ + cA ₂ = B ₁

í aA ₃ + bA ₂ + cA ₁ = B ₂

î aA ₂ + bA ₁ + c = B _3, где ; ; ; ;

; ; .-> y = ax ² + bx + c. (4) Градуировочные характеристики в виде уравнений (1, 4) считают номинальными.

Определение расчетным путем результирующей погрешности по известным значениям ее составляющих, называемая обычно задачей суммирования погрешностей, возникает во многих случаях практики. Определение погрешности СГИИС сводится к определению суммарного действия погрешностей всех измерительных преобразователей. Для вычисления результирующей погрешности измерения к погрешности СИ должны быть добавлены методические погрешности. Задача суммирования погрешностей – это одна из основных задач, как при проектировании, так и при эксплуатации средств измерений. В некоторых случаях, когда известны простые аналитические выражения, описывающие поэлементно характер преобразования информации, то суммарная погрешность может быть найдена аналитически.

Практические правила определения точечных значений результирующей погрешности состоят в следующем:

1. Все суммируемые составляющие погрешности, прежде всего, разделяются на аддитивные и мультипликативные для их последующего раздельного суммирования.

2. Суммирование точечных значений случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности выполняют с учетом взаимных корреляционных связей различных составляющих. Математически строго эта задача решается при известном законе распределения погрешностей, или иными способами, позволяющими оценить коэффициенты (функции) влияния частных погрешностей.

3. Экспериментально определить точные значения коэффициентов взаимной корреляции, как правило, чрезвычайно трудно. Поэтому по степени коррелированности обычно погрешности подразделяют лишь на два вида: сильно коррелированные (r = 1 ¸ 0,7) и слабо коррелированные (r = 0,7 ¸ 0).

4. Погрешности, между которыми сильные связи не обнаруживаются, относят к некоррелированным и для них принимают r = 0.

Критерий ничтожной погрешности. При оценке влияния частных погрешностей следует учитывать, что степень точности определения суммируемых погрешностей невысока, точность измерений в основном зависит от погрешностей, больших по абсолютной величине, а некоторые наименьшие погрешности можно не учитывать. Пренебрежение малыми погрешностями позволяет упростить вычисления при неизвестном законе распределения погрешностей

Критерий получим следующим образом. Допустим, что суммарная погрешность s_S определена с учетом всех частных погрешностей, среди которых некоторая погрешность s_i имеет малое значение. Если суммарная погрешность s_S¢, вычисленная без учета погрешности s_i отличается от s_S не более чем на 5–10%, то s_i можно считать ничтожной погрешностью.

Дата добавления: 2015-04-30