Статические погрешности средств измерений

В качестве примера рассмотрен расчет точностных характеристик вольтметра по результатам измерений с его помощью заданного напряжения. Расчет проведён в соответствии с рекомендациями, изложенными в учебных пособиях [1; 2].

Задача 1.1

При многократных измерениях напряжения В получены следующие показания исследуемого вольтметра: 60,12; 60,15; 60,16; 60,18; 60,20; 60,23; 60,25; 60,27; 60,28; 60,31 В. Предполагая, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, найти (с доверительной вероятностью Р=0,95) систематическую, случайную и суммарную погрешности вольтметра. Верхний предел измерения вольтметра В.

Оценка искомых величин проводится в следующей последовательности.

1. Рассчитывается среднее арифметическое значение рассматриваемого ряда измерений:

В,

где – среднее арифметическое значение;

n – число измерений (n=10);

– значение i-го измерения.

2. Определяется среднее квадратическое отклонение по формуле

В,

где – среднее квадратическое отклонение (СКО);

, и n – определены выше.

3. Выявляются возможные промахи методом 3 и методом Смирнова – Греббса (табличным методом).

Метод 3σ

Для реализации этого метода подсчитывается значение В, которое сравнивается с разностью между и .

,

где – предполагаемый промах ();

– определено выше.

Поскольку , то В – не промах, и это значение следует оставить в ряду измерений.

Табличный метод

Для реализации табличного метода оцениваются значения:

;

(для Р=0,95 и n=10),

где – табличное значение, зависящее от принятой доверительной

вероятности P и числа измерений n (см. прилож.);

, и – определены выше.

Поскольку , то – не промах, и это значение следует оставить в ряду измерений.

4. Оценивается абсолютная систематическая погрешность вольтметра:

В,

где – систематическая погрешность вольтметра в рассматриваемой точке шкалы (диапазона измерения);

– рассматриваемая точка шкалы (диапазона измерения), значение напряжения в которой принимается за истинное значение измеряемой величины ( =60,00 В);

– определено выше.

5. Оценивается абсолютная случайная погрешность вольтметра:

=

где – случайная погрешность вольтметра в рассматриваемой точке шкалы (диапазоне измерения);

κ – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности Р и от закона распределения результатов измерений (для р=0,95 и нормального закона распределения результатов измерений к=1,96);

– определено выше.

6. Оценивается абсолютная суммарная погрешность вольтметра:

В;

В,

где – абсолютная суммарная погрешность вольтметра;

, – определены выше.

7. Оценивается относительная суммарная погрешность вольтметра:

;

,

где – относительная суммарная погрешность;

– определено выше ( =60,00 В).

8. Оценивается приведённая суммарная погрешность вольтметра:

;

,

где – приведённая суммарная погрешность;

– верхний предел шкалы или диапазона измерения

вольтметра ( =200 В).

9. Проводится округление полученных величин. После округления рассматриваемые величины принимают следующие значения:

;

;

;

, Р=0,95.

Следовательно, с доверительной вероятностью Р=0,95 суммарные погрешности (при измерении напряжения =60,00 В) составляют: абсолютная 0,3 В; относительная 0,6 %; приведённая 0,17 %. При этом результат измерения исследуемым вольтметром в выбранной точке шкалы (или диапазона измерения) может быть записан как (60,2 0,3) В. Отметим, что термин «шкала» применяется для отсчётного устройства стрелочных приборов, а термин «диапазон измерения» – для отсчётного устройства цифровых измерительных приборов. В приведённом примере не уточняется тип прибора (стрелочный прибор или цифровой) и, в силу этого, используются оба термина при характеристике рассматриваемых величин.

По результатам расчета относительной и приведённой погрешностей исследуемому вольтметру присваивается класс точности в соответствии с ГОСТ 8. 401-80 [16].

Завод-изготовитель присваивает прибору один класс точности (по или ). В учебных целях рассматриваемому вольтметру присвоено два класса точности.

По относительной погрешности рассматриваемый вольтметр соответствует классу точности .

По приведенной погрешности рассматриваемый вольтметр соответствует классу точности 0,2.

Для оценки погрешности погрешностей, доверительных границ и доверительных интервалов использованы следующие величины, полученные при решении рассматриваемой задачи:

; ; .

1. Погрешность среднего арифметического значения оценивается по формуле:

;

где – погрешность среднего арифметического значения;

t – коэффициент Стьюдента, зависящий от принятой доверительной

вероятности Р и числа измерений n (для Р=0,95 и n=10 t=2,26; см. прилож.);

,n – определены выше.

2. Доверительные границы среднего арифметического значения оцениваются по формулам:

;

;

где и – нижняя и верхняя доверительные границы среднего арифметического значения;

и – определены выше.

3. Доверительный интервал среднего арифметического значения оценивается по формуле

=60,2599-60,1701=0,0898 В.

4. Погрешность систематической погрешности численно равна погрешности арифметического среднего значения, т.е.

0,0449 В,

где – погрешность систематической погрешности.

5. Доверительные границы систематической погрешности оцениваются по формулам

=0,2150-0,0449=0,1701 В;

=0,2150+0,0449=0,2599 В;

где и – нижняя и верхняя доверительные границы систематической

погрешности;

и – определены выше.

6. Доверительный интервал систематической погрешности определяется по формуле

=0,2599-0,1701=0,0898 В;

где – доверительный интервал систематической погрешности;

и – определены выше.

7. Приближенное значение погрешности среднего квадратического

отклонения (СКО) оценивается по формуле

где – приближённое значение погрешности СКО;

и n – определены выше.

8. Уточнённые значения погрешностей среднего квадратического

отклонения (СКО) оцениваются по формулам

∆₁σ = (γ₁ – 1)σ =(0,69 – 1) ⋅ 0,0628= - 0,0195 В;

∆₂σ = (γ₂ – 1)σ =(1,83 – 1) ⋅ 0,0628= 0,0521 В;

где и – уточнённые погрешности СКО;

и – коэффициенты, зависящие от принятой доверительно вероятности Р и числа измерений n (для Р=0,95 и n=10 =0,69 и

=1,83, см. прилож.);

– определено выше.

9. Уточнённые доверительные границы среднего квадратического

отклонения (СКО) оцениваются по формулам

=0,0628-0,0195=0,0433 В;

=0,0628+0,0521=0,1149 В,

где и – уточнённые нижняя и верхняя доверительные границы СКО;

, , – определены выше.

10. Уточнённый доверительный интервал среднего квадратического отклонения (СКО) оценивается по формуле

;

где – уточнённое значение доверительного интервала СКО;

и – определены выше.

После округления найденных величин получены следующие их значения:

= 0,04 В; =60,10 В; =60,26 В; =0,09 В. = 0,04 В; =0,17 В; =0,267В; =0,09 В; = 0,01 В.

=-0,02 В; =+0,05 В;

=0,04 В; =0,11 В; =0,07 В.

В заключение напомним ещё раз основные положения.

При малом числе измерений появляются погрешности погрешностей, которые уменьшаются с ростом числа измерений. Приведённый пример позволяет количественно оценить погрешности погрешностей при n=10 (где n – число измерений).

Подсчёт погрешностей среднего квадратического отклонения (СКО) по приближенной формуле всегда даёт симметричные и несколько меньшие значения, чем значения, полученные по уточнённым формулам с использованием коэффициентов и (см. приведённый пример).

Погрешности СКО, найденные по уточнённым формулам, всегда асимметричны, причём отрицательная погрешность по абсолютной величине всегда меньше положительной погрешности.

2. Динамические погрешности средств измерений

Задача 2.1

Задана переходная характеристика линейного измерительного устройства (рис. 2.1). Требуется определить: передаточную функцию устройства; амплитудно- и фазово-частотные характеристики; динамическую погрешность устройства при изменении входного сигнала по закону

.

Дата добавления: 2015-04-30