Преобразование заданной структурной схемы и определение показателей надёжности

Структурная схема надёжности приведена на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 – Структурная схема надёжности

Значения интенсивностей отказов в 10^-6 ч^-1:

λ₁=0,1;

λ₂= λ₃=1,0;

λ₄=2,0;

λ₅= λ₆=1,0;

λ₇= λ₈= λ₉=5,0;

λ₁₀= λ₁₁= λ₁₂=3,0;

λ₁₃= λ₁₄=1,0;

λ₁₅=0,05;

γ=80%.

1. В исходной схеме элементы 2, 3, 4, 5 и 6 образуют мостиковую схему. Заменим их квазиэлементом А. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно особого элемента, в качестве которого выберем элемент 4. Тогда:

(2.6)

где – вероятность безотказной работы мостиковой схемы при абсолютно надёжном элементе 4 (рисунок 2.6, а), – вероятность безотказной работы мостиковой схемы при отказавшем элементе 4 (рисунок 2.6, б).

Рисунок 2.6 – Преобразования мостиковой схемы при абсолютно
надёжном (а) и отказавшем (б) элементе 4

Учитывая, что p₂=p₃=р₅=р₆, получим:

(2.7)

2. Элементы 7, 8 и 9 соединены параллельно. Заменим их квазиэлементом В.

(2.8)

3. Элементы 10, 11 и 12 соединены параллельно. Заменим их квазиэлементом C.

(2.9)

4. Элементы 13 и 14 соединены параллельно. Заменим их квазиэлементом D.

(2.10)

5. Преобразованная схема изображена на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 – Преобразованная схема

6. В преобразованной схеме элементы 1, А, В, С, D и 15 образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы:

(2.11)

7. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 подчиняется экспоненциальному закону:

(2.12)

8. Рассчитаем вероятность безотказной работы элементов 1-15 исходной системы по формуле (2.12) для наработки до 0,42∙10⁶ часов:

Т=0,07∙10⁶ ч.

Р₁=е^-0,1∙0,07=0,9930

Р_2,3=е^-1,0∙0,07=0,9324

Р₄=е^-2,0∙0,07=0,8694

Р_5,6=е^-1,0∙0,07=0,9324

Р_7,8,9=е^-5,0∙0,07=0,7047

Р_10,11,12=е^-3,0∙0,07=0,8106

Р_13,14=е^-1,0∙0,07=0,9324

Р₁₅=е^-0,05∙0,07=0,9965

Т=0,14∙10⁶ ч.

Р₁=е^-0,1∙0,14=0,9861

Р_2,3=е^-1,0∙0,14=0,8694

Р₄=е^-2,0∙0,14=0,7558

Р_5,6=е^-1,0∙0,14=0,8694

Р_7,8,9=е^-5,0∙0,14=0,4966

Р_10,11,12=е^-3,0∙0,14=0,6570

Р_13,14=е^-1,0∙0,14=0,8694

Р₁₅=е^-0,05∙0,14=0,9930

Т=0,21∙10⁶ ч.

Р₁=е^{-0,1∙0,2·····1}=0,9792

Р_2,3=е^-1,0∙0,21=0,8106

Р₄=е^-2,0∙0,21=0,6570

Р_5,6=е^-1,0∙0,21=0,8106

Р_7,8,9=е^-5,0∙0,21=0,3499

Р_10,11,12=е^-3,0∙0,21=0,5326

Р_13,14=е^-1,0∙0,21=0,8106

Р₁₅=е^-0,05∙0,21=0,9896

Т=0,28∙10⁶ ч.

Р₁=е^-0,1∙0,28=0,9724

Р_2,3=е^-1,0∙0,28=0,7558

Р₄=е^-2,0∙0,28=0,5712

Р_5,6=е^-1,0∙0,28=0,7558

Р_7,8,9=е^-5,0∙0,28=0,2466

Р_10,11,12=е^-3,0∙0,28=0,4317

Р_13,14=е^-1,0∙0,28=0,7558

Р₁₅=е^-0,05∙0,28=0,9861

Т=0,35∙10⁶ ч.

Р₁=е^-0,1∙0,35=0,9656

Р_2,3=е^-1,0∙0,35=0,7047

Р₄=е^-2,0∙0,35=0,4966

Р_5,6=е^-1,0∙0,35=0,7047

Р_7,8,9=е^-5,0∙0,35=0,1738

Р_10,11,12=е^-3,0∙0,35=0,3499

Р_13,14=е^-1,0∙0,35=0,7047

Р₁₅=е^-0,05∙0,35=0,9827

Т=0,42∙10⁶ ч.

Р₁=е^-0,1∙0,42=0,9589

Р_2,3=е^-1,0∙0,42=0,6570

Р₄=е^-2,0∙0,42=0,4317

Р_5,6=е^-1,0∙0,42=0,6570

Р_7,8,9=е^-5,0∙0,42=0,1225

Р_10,11,12=е^-3,0∙0,42=0,2837

Р_13,14=е^-1,0∙0,42=0,6570

Р₁₅=е^-0,05∙0,42=0,9792

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 – 15 представлены в таблице 2.

9. Произведём расчёт надёжности квазиэлементов A, B, C и D:

Т=0,07∙10⁶ ч.

Р_А=0,8694·(2·0,9324−0,9324²)²+(1−0,8694)·(2·0,9324²−0,9324⁴)=

=0,9898

Р_В=1−(1−0,7047)³=0,9742

Р_С=1−(1−0,8106)³=0,9997

Р_D=1−(1−0,9324)²=0,9954

Т=0,14∙10⁶ ч.

Р_А=0,7558·(2·0,8694−0, 0,8694²)²+(1−0,7558)·(2·0,8694²−0,8694⁴)=

=0,9599

Р_В=1−(1−0,4966)³=0,8724

Р_С=1−(1−0,6570)³=0,9978

Р_D=1−(1−0,8694)²=0,9829

Т=0,21∙10⁶ ч.

Р_А=0,6570·(2·0,8106−0,8106²)²+(1−0,6570)·(2·0,8106²−0,8106⁴)=

=0,9134

Р_В=1−(1−0,3499)³=0,7253

Р_С=1−(1−0,5326)³=0,9932

Р_D=1−(1−0,8106)²=0,9641

Т=0,28·10⁶ ч.

Р_А=0,5712·(2·0,7558−0,7558²)²+(1−0,5712)·(2·0,7558²−0,7558⁴)=

=0,8551

Р_В=1−(1−0,2466)³=0,5724

Р_С=1−(1−0,4317)³=0,9854

Р_D=1−(1−0,7558)²=0,9404

Т=0,35∙10⁶ ч.

Р_А=0,4966·(2·0,7047−0,7047²)²+(1−0,4966)·(2·0,7047²−0,7047⁴)=

=0,7896

Р_В=1−(1−0,1738)³=0,4360

Р_С=1−(1−0,3499)³=0,9742

Р_D=1−(1−0,7047)²=0,9128

Т=0,42∙10⁶ ч.

Р_А=0,4317·(2·0,6570−0,6570²)²+(1−0,4317)·(2·0,6570²−0,6570⁴)=

=0,7209

Р_В=1−(1−0,1225)³=0,3242

Р_С=1−(1−0,2837)³=0,9597

Р_D=1−(1−0,6570)²=0,8824

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C и D также представлены в таблице 2.

10. Найдём вероятность безотказной работы системы по формуле (2.11):

Т=0,07∙10⁶ ч.

Р=0,9930·0,9898·0,9742·0,9997·0,9954·0,9965=0,9496

Т=0,14∙10⁶ ч.

Р=0,9858·0,9582·0,8667·0,9976·0,9822·0,9929=0,7965

Т=0,21∙10⁶ ч.

Р=0,9792·0,9134·0,7253·0,9932·0,9641·0,9896=0,6147

Т=0,28∙10⁶ ч.

Р=0,9724·0,8551·0,5724·0,9854·0,9404·0,9861=0,4349

Т=0,35∙10⁶ ч.

Р=0,9656·0,7896·0,4360·0,9742·0,9128·0,9827=0,2905

Т=0,42∙10⁶ ч.

Р=0,9861·0,9599·0,8724·0,9978·0,9829·0,9930=0,8042

На рисунке 2.8 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от наработки t.

11. По графику (рисунок 2.8, кривая P) находим для γ=80% (Р _γ=0,8) γ- процентную наработку системы Т_γ=0,142∙10⁶ ч.

12. Проверочный расчет при t=0,0142∙10⁶ ч показывает (таблица 2), что

Таблица 2 – Расчёт вероятности безотказной работы системы

Элемент	λi, x10^-6ч^-1	Наработка, t x 10^6ч
0,07	0,14	0,21	0,28	0,35	0,42	0,142	0,213
	0,1	0,9930	0,9861	0,9792	0,9724	0,9656	0,9589	0,9859	0,9789
2, 3	1,0	0,9324	0,8694	0,8106	0,7558	0,7047	0,6570	0,8676	0,8082
	2,0	0,8694	0,7558	0,6570	0,5712	0,4966	0,4317	0,7528	0,6531
5,6	1,0	0,9324	0,8694	0,8106	0,7558	0,7047	0,6570	0,8676	0,8082
7,8,9	5,0	0,7047	0,4966	0,3499	0,2466	0,1738	0,1225	0,4916	0,3447
10,11,12	3,0	0,8106	0,6570	0,5326	0,4317	0,3499	0,2837	0,6531	0,5278
13,14	1,0	0,9324	0,8694	0,8106	0,7558	0,7047	0,6570	0,8676	0,8082
	0,05	0,9965	0,9930	0,9896	0,9861	0,9827	0,9792	0,9929	0,9894
A	-	0,9898	0,9599	0,9134	0,8551	0,7896	0,7209	0,9587	0,9111
B	-	0,9742	0,8724	0,7253	0,5724	0,4360	0,3242	0,8686	0,7186
C	-	0,9997	0,9978	0,9932	0,9854	0,9742	0,9597	0,9977	0,9929
D	-	0,9954	0,9829	0,9641	0,9404	0,9128	0,8824	0,9825	0,9632
P	-	0,9496	0,8042	0,6147	0,4349	0,2905	0,1858	0,7991	0,6065
7', 8', 9'	2,1953	0,8576	0,7354	0,6306	0,5408	0,4638	0,3977	0,7322	0,6265
В'	-	0,9971	0,9815	0,9496	0,9032	0,8458	0,7815	0,9808	0,9479
P'	-	0,9719	0,9047	0,8048	0,6862	0,5635	0,4479	0,9023	0,8000
16, 17, 18	5,0	0,7047	0,4966	0,3499	0,2466	0,1738	0,1225	0,4916	0,3447
B''	-	0,9998	0,9918	0,9509	0,8622	0,7372	0,5992	0,9912	0,9481
P''	-	0,9745	0,9143	0,8059	0,6551	0,4911	0,3435	0,9119	0,8002

Рисунок 2.8 – Изменение вероятности безотказной работы
исходной системы (Р), системы с повышенной надёжностью (Р')
и системы со структурным резервированием элементов (Р'')

13. По условиям задания повышенная γ- процентная наработка

ч.

14. Рассчитаем для наработки 0,213∙10⁶ ч вероятность безотказной работы элементов 1 – 15:

Т=0,213∙10⁶ ч.

Р₁=е^-0,1∙0,213=0,9789

Р_2,3=е^-1,0∙0,213=0,8082

Р₄=е^-2,0∙0,213=0,6531

Р_5,6=е^-1,0∙0,213=0,8082

Р_7,8,9=е^-5,0∙0,213=0,3447

Р_10,11,12=е^-3,0∙0,213=0,5278

Р_13,14=е^-1,0∙0,213=0,8082

Р₁₅=е^{-0,05∙0,213}=0,9894

Произведём расчёт надёжности квазиэлементов A, B, C и D:

Т=0,213∙10⁶ ч.

Р_А=0,6531·(2·0,8082−0,8082²)²+(1−0,6531)·(2·0,8082²−0,8082⁴)=

=0,9111

Р_В=1−(1−0,3447)³=0,7186

Р_С=1−(1−0,5278)³=0,9929

Р_D=1−(1−0,8082)²=0,9632

Найдём вероятность безотказной работы системы:

Т=0,213∙10⁶ ч.

Р=0,9789·0,9111·0,7186·0,9929·0,9632·0,9894=0,6065

Расчёты показывают, что из последовательно соединённых элементов 1, A, B, C, D, 15 наименьшую вероятность безотказной работы имеет элемент В (параллельно соединённые элементы 7, 8, 9 в исходной схеме) и именно увеличение его надёжности даст максимальное увеличение надёжности системы в целом.

15. Для того чтобы при ч система в целом имела вероятность безотказной работы Р _γ =0,8, необходимо, чтобы элемент В имел вероятность безотказной работы (см. формулу (2.11)):

Очевидно, что значение P_В, полученное по формуле (2.11), является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее чем в 1,5 раза, при более высоких значениях P_В увеличение надёжности системы будет бо́льшим.

16. Квазиэлемент В состоит из трёх параллельно соединённых элементов 7, 8, 9, имеющих одинаковую вероятность безотказной работы. Необходимо найти, какую вероятность безотказной работы должны иметь эти элементы, чтобы квазиэлемент В имел вероятность безотказной работы Р_В=0,9479.

Из формулы (2.8) следует, что:

(2.13)

Следовательно, чтобы квазиэлемент В имел вероятность безотказной работы Р_В=0,9479, элементы 7, 8, 9 должны иметь вероятность безотказной работы:

17. Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (2.12), то для элементов 7, 8, 9 при t =0,213∙10⁶ ч находим

(2.14)

18. Таким образом, для увеличения γ- процентной наработки системы необходимо увеличить надёжность элементов 7, 8, 9 и снизить интенсивность их отказов с 5∙10^-6 до 2,1953∙10^-6 ч , т.е. в 2,28 раза.

19. Результаты расчетов для системы с увеличенной надёжностью элементов 7, 8, 9 приведены в таблице 2. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы квазиэлемента В' и системы в целом P'. При t =0,213∙10⁶ ч вероятность безотказной работы системы что соответствует условиям задания. График приведен на рисунке 2.8.

20. Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы – структурного резервирования – выбираем квазиэлемент В, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже .

21. Для повышения надёжности системы добавляем параллельно элементам 7, 8, 9 элементы, идентичные по надёжности исходным элементам до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента В'' не достигнет заданного значения.

– добавляем элемент 16:

(2.15)

– добавляем элемент 17:

(2.16)

– добавляем элемент 18:

(2.17)

– добавляем элемент 19:

(2.18)

22. Таким образом, для повышения надёжности до требуемого уровня необходимо в исходной схеме выполнить резервирование элементов 7, 8, 9 равнонадёжными элементами 16, 17, 18 и 19 (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9 – Структурная схема после резервирования

23. Результаты расчётов вероятностей безотказной работы квазиэлемента В'' и системы в целом Р'' представлены в таблице 2.

24. Расчеты показывают, что при ч , что соответствует условию задания.

25. На рисунке 2.8 нанесены кривые зависимостей вероятности безотказной работы системы после повышения надёжности элементов 7, 8, 9 (кривая P') и после структурного резервирования (кривая P'').

Заключение

1. На рисунке 2.8 представлена зависимость вероятности безотказной работы системы (кривая P). Из графика видно, что 80% - наработка исходной системы составляет 0,142∙10⁶ часов.

2. Для повышения надёжности системы и увеличения 80%-наработки системы в 1,5 раза (до 0,213∙10⁶ часов) предложены два способа:

а) повышение надёжности элементов 7, 8, 9 и уменьшение интенсивностей их отказов от 5∙10^-6 до 2,1953∙10^-6 ч ;

б) нагруженное резервирование основных элементов 7, 8, 9 идентичными по надёжности резервными элементами 16, 17, 18 и 19 (рисунок 2.9).

3. Анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от наработки (рисунок 2.8) показывает, что второй способ повышения надёжности системы (структурное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до 0,213∙10⁶ часов вероятность безотказной работы системы при структурном резервировании (кривая P'') выше, чем при увеличении надёжности элементов (кривая P').

Дата добавления: 2015-04-30