Погрешности косвенных измерений. y=F(x1, x2, , xn), где x1, x2, , xn – результаты прямых измерений со случайной ошибкой

y=F(x₁, x₂, …, x_n), где x₁, x₂, …, x_n – результаты прямых измерений со случайной ошибкой.

Известна функция F, связывающая y с x. Нужно найти мат.ожидание m_у и s_у. Обрабатывают результаты прямых измерений и находят математические ожидания m₁, m₂, …, m_n и их отклонения s₁, s₂,..., s_n или их оценки (S).

Правила.

1. m_y=F(m_x1, m_x2, …, m_xn)

2. Если аргументы независимы, то определяют дисперсию , индекс m означает, что частные производные вычисляются в точках, где аргумент равен математическому ожиданию.

Пример 1.

Рассмотрим сумму и разность двух величин

1. y=х₁ + х₂; m_y=m₁ + m₂

s²_y=s²₁ + s²₂ - для случая независимых аргументов.

Если х₁ и х₂ коррелированны, т.е. зависят друг от друга, то , где r - коэффициент корреляции; отклонения суммируются алгебраически с учетом знаков. Если Dx₂ прямо пропорционален Dx₁, то r=+1, s_y=s₁+s₂. Если х₁ возрастает и при этом х₂ линейно убывает, то r=-1, s_y=|s₁+s₂|.

Пример 2.

, , считая, что погрешности независимы имеем:

Если разделим выражение на , то получим выражение ;

- относительная среднеквадратичная погрешность . Для произведения и частного несколько величин изменяются со случайной ошибкой. Квадрат относительной ошибки результата равен сумме квадратов относительных величин. Чтобы найти доверительный интервал у нужно знать закон распределения х. Уже для трех аргументов это сложная задача и часто закон распределении неизвестен и используют Р_д=0.9, для которого большинство распределений пересекаются в узком диапазоне и .

Дата добавления: 2015-04-30