Методы уменьшения инструментальных погрешностей. Внесение поправок в результат измерений

Практическое занятие №2

Методы обнаружения и уменьшения систематических погрешностей измерений

Практическое занятие №1

Задача №1

Привести доказательство действенности метода компенсации погрешности по знаку.

Решение

Предположим, что:

x₁, x₂ — результат двух измерений;

Δ — систематическая погрешность;

x_д — значение измеряемой величины без погрешности.

Тогда:

x₁ = xд+Δ, x₂ = x_д -Δ

x_ср = (x₁+x₂)/2=(x_д +Δ+x_д -Δ)/2= x_д

x_ср = x_д ч.т.д.

Задача №2

Доказать действенность метода замещения..

Решение

Рассмотрим пример применения метода симметричных наблюдений при взвешивании по способу Борда, при постоянно изменяющейся равноплечести весов.

1. Взвешиваем массу Х уравновешиванием массы Z.

X = (l₂/l₁ +X₁)Z (в момент t₁ погрешность Х₁)

2. Уравновешиваем вместо Х массой гирь m₁

m₁ = (l₂/l₁ +X₂)Z

3. Делаем ещё одно измерение, но уравновешиваем массой m₂

m₂ = (l₂/l₁ +X₃)Z

4. Ещё раз взвешиваем массу Х (для уравновешивания нужно добавить m)

Х ∓ m = (l₂/l₁ +X₄)Z

5. Находим среднее из результатов 1, 4

Х ∓ m/2 = (l₂/l₁ +(X₁+X₄)/2)Z

6. Находим среднее из результатов 2, 3

(m₁ + m₂)/2 = (l₂/l₁ +(X₂+X₃)/2)Z

7. Правые части уравнений 5 и 6 равны по определению, отсюда:

Х ∓ m/2 = (m₁ + m₂)/2 тогда: X = (m₁ + m₂ ∓ m)/2

8. Вывод: мы избавились не только от прогрессивной погрешности, но и погрешности от неравноплечести весов l₁/l₂ ≠ 1 ч.т.д.

Задача №3

Доказать действенность метода противопоставления.

Решение

Рассмотрим пример взвешивания массы Х, уравновешиванием массой m на равноплечих весах.

1. x*l₁=m₁ * l₂ отсюда: x = (l₂ / l₁)*m₁

2. Заменим Х на m₂, а m₁ на Х тогда: m₂= (l₂ / l₁)*X

3. Делим 1 на 2. X/ m₂ = m₁/X отсюда: X = √m₁ m₂ погрешности неравноплечести нет. ч.т.д.

Задача №4

Вероятность случайной погрешности измерения равна 0,45. Погрешность равна 3. Определить числовые характеристики случайной погрешности: М, D, σ.

Решение

1. Строим ряд распределения случайной погрешности, обозначив её «Х»

Х
Р	0,45	0,55

2. Определяем числовые характеристики

М = 3*0,45 + 0*0,55 = 1,35

D = (3-1,35)²*0,45 + (0-1,35)²*0,55 = 2,23

σ = √D = √2,23 = 1,49

Задача №1

Произведены три независимых замера. Вероятность неприемлемой погрешности измерений 0,4. Случайная величина — число правильных измерений. Определить её характеристики.

Решение

1. Число правильных измерений может быть 0, 1, 2,3,4. Для построения ряда распределения этой величины находим вероятность, для чего используем теорему о повторении опытов:

P₁ = (1-0,4)³ = 0,216

P₂ = 3*0,4*0,6² = 0,432

P₃ = 3*0,4²*0,6 = 0,288

P₄ = 0,4³ =0,064

2. Строим ряд распределения

Х
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

3. Определяем числовые характеристики

М = 0*0,216 + 1*0,432 + 2*0,288 + 3*0,064 = 1,2

D = (0-1,2)²*0,216 + (1-1,2)²*0,432 + (2-1,2)²*0,288 + (3-1,2)²*0,064 = 0,72

σ = √D = √0,72= 0,848

Задача №2

Ошибка измерения Х распределена по нормальному закону. При измерении допускаются систематические ошибки в сторону завышения на 1,2. σ = 0,8. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдёт по абсолютной величине 1,6.

Решение

1. Из условия определяем параметры нормального закона распределения

m = 1,2; σ = 0,8; α = -1,6; β = 1,6

2. Вероятность попадания случайной величины на участок от α до β определяется по формуле:

P(α <x< β) = Ф((β-m)/σ) - Ф((α -m)/σ) где Ф — функция Лапласа

Отсюда:

P(-1,6 <x< 1,6) = Ф((1,6-1,2)/0,8) — Ф((-1,6 -1,2)/0,8) = Ф(0,5) — Ф(-3,5)

3. Значения функции распределения Лапласа находим воспользовавшись электронной таблицей MS Excel функция - «НОРМРАСПР» или LibreOffice Calc - функция «NORMSDIST»

Ф(0,5) = 0, 6915

Ф(-3,5) = 0, 00023

4. Находим вероятность

P(-1,6 <x< 1,6) = 0, 6915 - 0, 00023 = 0,691

Задача №3

Поправочный множитель 0.96, результат измерений 85. Определить результат с учетом поправки.

Решение

85 * 0.96 = 85(1 — 0.04) = 85 — 3.4 = 81.6

Задача №4

Поправочный множитель 1.02, результат измерений 85. Определить результат с учетом поправки.

Решение

1) 85 * 0.02 = 1.7

2) 85+1.70 = 86.7

Дата добавления: 2015-04-30