Подобие прямоугольных треугольников

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов

°, 45° И 60°

Найдём сначала значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, у которого < A =30°, <B = 60° (рис. 13).

Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то . Но . С другой стороны . Итак, .

Из основного тригонометрического тождества получаем

, .

По формуле (4) П. 5.1. находим

.

Найдём теперь sin45°, cos45° и tg45°. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 14).

В этом треугольнике AC = BC, < A = < B = 45°. По теореме Пифагора

AB² = AC² + BC² = 2AC² = 2BC², откуда AC = BC = . Следовательно,

.

Составим таблицу значений sinα, cosα, tgα для углов α, равных 30°, 45°, 60°.

α	30°	45°	60°
sinα
cosα
tgα	1

урок геометрия треугольник теорема

В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например, футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Введём понятие подобных треугольников.

Пусть у двух треугольников ABC и A₁B₁C₁ углы соответственно равны: <A=<A₁, <B=<B₁, <C=<C₁. В этом случае стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ называются сходственными.

Два треугольника называются подобными, если их углы равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 15).

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения ABC и A₁B₁C₁ так что

<A=<A₁, <B=<B₁, <C=<C₁, (1)

(2).

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Обозначается ∆ABC~∆A₁B₁C₁.

Оказывается, что подобие треугольников можно устанавливать, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла (рис. 16).

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на подобные прямоугольные треугольники, каждый из которых подобен данному треугольнику.

На рисунке ABC - прямоугольный треугольник <ABC=90º, CD ┴AB.

Δ ACD ~ Δ CDB;

Δ ACD ~ Δ ABC;

Δ CDB ~ Δ ABC.

Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине B. Следовательно, они подобны ∆ABC~∆ CBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

, или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равные острые углы при вершинах A и C. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:

или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

2. Методические основы изучения темы «Прямоугольный треугольник»

Методика обучения математике не только логически организует отобранный материал, но и ориентирует его на особенности учащихся того или иного класса, используя закономерности памяти, мышления, внимания и т.д., индивидуальные способности возрастной группы.

Основная роль учителя математики в современных условиях - это воспитание личности учащихся, формирование их потребностно - мотивационной сферы, воспитание их способностей, нравственных идеалов и убеждений. Обучение знаниям, умениям и навыкам по математике является составной частью этого воспитания и тем процессом, в котором это воспитание осуществляется.

Обучение математике способствует становлению и развитию нравственных черт личности: настойчивости и целеустремлённости, познавательной активности и самостоятельности, дисциплины и критического мышления, способности аргументировано отстаивать свои взгляды и убеждения. Изучение математики вносит определенный вклад в эстетическое воспитание человека, формируя понимание красоты и изящества математических убеждений, способствуя восприятию геометрических форм и симметрии. Изучение математики развивает воображение и пространственные представления.

Дата добавления: 2015-05-06