Параллельное соединение R, L, C

Если к выводам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L, C, приложено синусоидальное напряжение то по I закону Кирхгофа синусоидальный ток в неразветвленной части равен алгебраической сумме синусоидальных токов в параллельных ветвях где

– совпадает по фазе с напряжением u(t);

– отстает по фазе от напряжения u (t) на ;

– опережает по фазе напряжение u (t) на .

Просуммируем:

Выражение является тригонометрической формой записи I закона Кирхгофа для мгновенных значений.

^ Активная проводимость цепи , всегда положительна.

Реактивная проводимость цепи , в зависимости от знака может иметь индуктивный (В > 0) или емкостный (B < 0) характер. Если В = 0, цепь носит активный характер.

Для нахождения и? воспользуемся приемом, приведенным в предыдущем разделе:

, (3.27)

т.е. ток отстает от напряжения на угол?.

Здесь – начальная фаза напряжения; – начальная фаза тока; – разность фаз

– амплитудное значение тока; – полная проводимость цепи – величина, обратная полному сопротивлению ;

– угол разности фаз определяется по оси в направлении от напряжения к току и является острым или прямым .

– при индуктивном характере цепи, т.е. при B > 0; при этом ток опережает по фазе напряжение. – при емкостном характере цепи, т.е. при B < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение. – при резистивном характере цепи, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей ; при этом ток совпадает по фазе с напряжением. Такой режим работы электрической цепи называют резонансом токов.

Активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами

.

Для проводимостей также можно построить треугольник проводимостей.

Активная и реактивная составляющие тока определяются следующим образом:

.

^ 31) Символический метод расчета.

Пусть некоторая электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС и т.д.) изменяется по синусоидальному закону . В прямоугольной системе координат (рис. 3.12) расположим под углом вектор, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде (причем,? > 0, если отсчитывается против часовой стрелки).

Представим себе, что вектор с момента t = 0 начинает вращаться вокруг начала координат в положительном направлении с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте?. А его проекция на ось ординат будет равна мгновенному значению величины v. Таким образом, между мгновенным значением v (t) и вектором можно установить однозначное соответствие. На этом основании будем называть вектор вектором, изображающим функцию времени, и обозначать . Конечно, эти векторы, имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве (скорость, силу и др.). Поэтому такие изображения функции времени называют символическими.

Если считать ось абсцисс осью вещественных величин, а ось ординат – осью мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу с модулем и аргументом?. Это комплексное число называют комплексной амплитудой.

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты, изображенных на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Векторные диаграммы, как правило, используются для качественной оценки расчетов и их наглядности. Они являются графическим отображением математических соотношений и расчетов электрической цепи.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы? всех комплексных значений уменьшить или увеличить на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называют исходным вектором.

^ Теоремы символического метода

1. 
   Об однозначном соответствии символического изображения данной тригонометрической функции: . Это было показано выше: , где .
2. 
   О линейном преобразовании: если , то , т.е. .
3. 
   О сумме: если , то . Следствие:

. Следует отметить, что в правой части складываются векторы по правилам векторной алгебры.

1. 
   О производной: если , а , тогда , т.е. взятие производной во временной области означает умножение вектора на j? в комплексной области или поворот вектора на : .
2. 
   Об интеграле: если , а , то , т.е. интегралу функции во временной области соответствует деление вектора на j? в комплексной области или поворот вектора на угол .

Таким образом, символический метод позволяет свести дифференциальные уравнения, которыми описываются цепи переменного тока, к виду алгебраических уравнений. Полученное таким образом решение можно затем перевести во временную область.

^ 32) Символический метод расчета при последовательном соединении R, L,C элементов.

По II закону Кирхгофа .

На основании теоремы о сумме

,

где – комплексное сопротивление цепи.

На основании теоремы Эйлера

. (3.35)

Полное сопротивление равно модулю полного комплексного сопротивления , аргумент полного комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока .

Комплексное сопротивление можно представить в виде

(3.36)

где R – действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением, ;

X – мнимая часть комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением, .

Таким образом, закон Ома в общем виде , где может представлять, в частности, следующее: для сопротивления , для индуктивности , для емкости .

Введем понятие комплексной проводимости . (3.37)

Для рассматриваемой цепи построим векторную диаграмму токов и напряжений. Поскольку для всех элементом общим является ток, вектор тока и выберем в качестве исходного вектора, направив его по действительной оси (рис. 3.18).

Возможны три режима работы такой цепи:

– индуктивный режим, ;

– резонанс напряжений, ;

– емкостный режим, .

Угол? (разность начальных фаз напряжения и тока) определяется углом поворота вектора тока к вектору напряжения по кратчайшему пути: если поворот определяется против часовой стрелки, то (отстающий ток), иначе – (опережающий ток). Как видно из приведенных выше формул, характер цепи определяет большее реактивное сопротивление.

33) Символический метод расчета при параллельном соединении R, L,C элементов

Пусть к цепи, состоящей из параллельного соединения R, L, C элементов (рис. 3.19), приложено напряжение , которому соответствует . Определим токи во всех ветвях.

По I закону Кирхгофа мгновенное значение тока

. .

Применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме:

,

,

.

,

где полная комплексная проводимость ;

активная проводимость ;

индуктивная проводимость ;

емкостная проводимость .

На основании формулы Эйлера

. (3.39)

Действительная часть комплексной проводимости , называется активной проводимостью;

мнимая часть комплексной проводимости , называется реактивной проводимостью.

Для рассматриваемой цепи построим векторную диаграмму токов и напряжений. Поскольку для всех элементом общим является напряжение , вектор напряжения и выберем в качестве исходного вектора, направив его по действительной оси (рис. 3.20).

Возможны три режима работы такой цепи:

– индуктивный режим, ;

– резонанс токов, ;

– емкостный режим, .

Таким образом, в параллельных ветвях характер цепи определяет большая реактивная проводимость или меньшее реактивное сопротивление.

34) Мощность в комплексной форме

Вспомним, что мгновенная мощность определяется следующим образом:

.

Если принять , тогда из следует, что .

Тогда .

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, изменяющуюся с двойной частотой.

Активная мощность – это постоянная составляющая мгновенной мощности или среднее за период:

(3.49)

Активная мощность всегда положительна.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока, поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз, а полной мощностью

Дата добавления: 2015-05-06