Пример 3. В электрической цепи (рис

Рис. 9.1.

В электрической цепи (рис. 9.1.) с параметрами R =50 Ом; L =0,25 Гн; С =50 мкФ; Е =100 В, выполнить следующее:

· используя классический метод расчета переходного процесса, определить аналитическую зависимость, описывающую изменение тока i₁(t), возникающее в результате коммутации;

· используя операторный метод расчета переходного процесса, определить аналитическую зависимость, описывающую изменение тока i₁(t), возникающее в результате коммутации;

· используя полученные аналитические зависимости построить график изменения тока i₁(t), демонстрирующий его переход от одного установившегося значения к другому.

Решение классическим методом

1. Расчет режима до коммуникации.

- Токи в ветвях цепи

i ₁(0_) = i ₂(0_) = = 1 A; i ₃ (0_) = 0.

- Напряжение на конденсаторе

U_C (0_) = 0.

2. Независимые начальные условия для схемы сразу после коммутации

По первому закону коммутации i ₂(0) = i ₂(0_) =1А.

По второму закону коммутации U_C (0) = U_C (0_) = 0.

Рис. 9.2

3. Расчет принужденного режима (рис. 9.2 )

токи в ветвях цепи:

i _{1 пр} = i _{2 пр} = = 2A; i _{3 пр} = 0.

4. Расчет искомого тока и его производной для момента коммутации (t = 0).

По законам Кирхгофа составляем уравнения для схемы после коммутации

Используя уравнение (2) для момента времени t = 0 с учетом того, что U_C (0) = 0, найдем i ₁(0) = U / R = 100 / 50 = 2 A.

Из уравнения (1) при t = 0 находим

i ₃ (0) = i ₁(0) – i ₂(0) = 1 A.

Найдем производную искомого тока i ₁. Для этого продифференцируем уравнение (2) 0 = , откуда .

Следовательно, .

5. Определение корней характеристического уравнения.

Входное сопротивление для схемы после коммутациив операторной форме Z (p) = .

Откуда характеристическое уравнение

RLCp ² + Lp + R = 0 или p ² + . (3)

Решение уравнения (3) дает два корня

p _1,2 = .

После подстановки численных значений заданных величин R =50 Ом и С = 50×10^-6 Ф получим:

p ₁ = –200 + j 200; p ₂ = –200 – j 200.

Так как корни характеристического уравнения (3) получились сопряженными комплексными числами, то переходный процесс в электрической цепи будет иметь колебательный характер.

6. Определение постоянных интегрирования и закона изменения во времени искомого тока i ₁.

Переходный ток на неразветвленном участке цепи

i ₁= i _{1 пр} + i _{1 св} = i _{1 пр} + A e ^{– d t} sin (w ₁ t + g),

а его производная = – dА е ^{– d t} sin (w ₁ t + g) + Aw ₁ е ^{– d t} cos(w ₁ t + g).

Находим значения тока и его производной для момента времени t =0.

После подстановки численных значений имеем систему двух уравнений

2 = 2 + А sin g; (4)

–400 = –200А sin g + А 200 cos g. (5)

Совместные решения уравнений (4) и (5) дают А = –2; g = 0.

Следовательно, искомый ток будет равен

i ₁(t) = 2 – 2 е ^{–200 t} sin 200 t.

Решение операторным методом

Начальные условия переходного процесса в электрической цепи определены в первом пункте классического метода:

i ₂(0) =1 А; U_C (0)= 0.

С учетом этого составим операторную схему замещения цепи (рис. 9.3) и запишем для этой схемы уравнение по законам Кирхгофа

Рис. 9.3

Решаем эту систему уравнений относительно тока I ₁(p)

(6)

После подстановки численных значений в уравнение (6)

L = 0,25 Гн; С = 50×10^–6 Ф; R = 50 Ом; i ₂(0) = 1 А; E =100 В получим:

(7)

Для нахождения оригинала определяем корни знаменателя уравнения (7), для чего приравняем его к нулю

р ³ + 400 р ² + 80000 р = 0.

Решение этого уравнения дает следующие корни:

p ₁ = 0; p ₂ = –200 + j 200; p ₃ = –200 – j 200.

Так как знаменатель имеет три корня, то сумма в формуле разложения состоит из трех слагаемых:

. (8)

Находим числители слагаемых в уравнении (8)

F ₁(р ₁) = 16×10⁴; F ₁(р ₂) = (8 – j 8)×10⁴; F ₁(р ₃) = (8 + j 8)×10⁴.

Производная знаменателя уравнения (7)

F ¢₂(р) = 3 р ² + 800 р + 80000.

Подставим вместо p соответствующие корни и получим знаменатели слагаемых:

F ¢₂(р ₁) = 80000; F ¢₂(р ₂) = (– 8 – j 8)×10⁴; F '₂(р ₃) = (–8 + j 8)×10⁴.

Полученные значения подставим в формулу (8) теоремы разложения

Учитывая, что е ^{j 180°}= –1, то – е^{j (200 t+ 90°)}= е^{j 180°} е^{–j (200 t+ 90°)}= е^{–j( 200 t– 90°)}.

Окончательно имеем i ₁(t)=2–2 e ^{–200 t} cos(200 t –90°)=2–2 e ^{–200 t} sin200 t.

Вывод: аналитические зависимости, описывающие изменение тока i₁(t), полученные классическим и операторным методами, полностью совпадают, что свидетельствует о правильности расчета.

Для построения графика изменения тока i₁ в результате коммутациивоспользуемся программным комплексом MathCAD. График приведен на рис. 9.4.

Рис. 9.4

Дата добавления: 2015-05-06