Докажите, что общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейная комбинация фундаментальной системы решений этого уравнения

Пусть у₁(х),……, у_п(х) – фундаментальный набор решений уравнения L(y)=0, тогда общее решение этого уравнения задается формулой: y=C₁y₁+…+C_ny_n. Доказательство. То, что функция у(х), определяемая формулой

С₁у₁(х₀)+С₂у₂(х₀)+….+С_ку_к(х₀)=0

С₁у’₁(х₀)+С₂у’₂(х₀)+…+ С_kу’_k(х₀)=0

………………………………………………

С₁у₁^(k-1)(х₀)+С₂у₂^(k-1)(х₀)+…..+ С_kу_k^(k-1)(х₀)=-0

Является решением уравнения L(y)=0, следует из С₁у₁(х)+С₂у₂(х)+….+С_ку_к(х). Покажем теперь что любое решение ѱ (х) уравнения L(y)=0 представимо в виде линейной комбинации функций у₁,…,у_п. Зафиксируем некоторую точку х₀. Введем следующие обозначения ѱ(х₀)=у₀, ѱ’(x₀)=y’₀, …., ѱ^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1) рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

С₁у₁(х₀)+С₂у₂(х₀)+….+С_nу_n(х₀)=y₀

С₁у’₁(х₀)+С₂у’₂(х₀)+…+ С_nу’_n(х₀)=y₀

………………………………………………

С₁у₁^(n-1)(х₀)+С₂у₂^(n-1)(х₀)+…..+ С_nу_n^(n-1)(х₀)=y₀^(n-1)

Определителем этой системы является определитель Вронского для функции у₁,…у_п в точке х₀. Ввиду линейной зависимости этих функций данный определитель не равен нулю. Следовательно, у системы

С₁у₁(х₀)+С₂у₂(х₀)+….+С_nу_n(х₀)=y₀(1.1)

С₁у’₁(х₀)+С₂у’₂(х₀)+…+ С_nу’_n(х₀)=y₀

………………………………………………

С₁у₁^(n-1)(х₀)+С₂у₂^(n-1)(х₀)+…..+ С_nу_n^(n-1)(х₀)=y₀^(n-1)

Существует решение (‾С₁, ‾С₂,….,‾С_п). Тогда функция у(х)=‾С₁у₁(х)+‾С₂у₂(х)+…+‾С_пу_п(х), как это вытекает из (1.1), удовлетворяет тем же начальным условиям. В силу единственности решения задачи Коши имеем ѱ(х)=у(х), т.е. ѱ(х) есть линейная комбинация функции у₁,…у_п. теорема доказана.

24.

Дата добавления: 2015-03-29