Метод касательных

Метод дихотомии

Основные теоретические положения

Многие задачи исследования различных объектов с помощью математических моделей, применяемых их для прогноза или расчёта, приводят к необходимости решения нелинейных уравнений.

Уравнения могут быть алгебраическими и трансцендентными. Пример

алгебраического уравнения: y = a + bx + cx², трансцендентного: y = eⁿ + x.

Решить уравнение – это найти такое значение переменной х, при котором заданная функция равна нулю (f (x) = 0).

Как правило, процесс решения нелинейного уравнения обще­го вида f(х)=0 осуществляется в два этапа. На первом этапе от­деляют корни, т.е. находят такие отрезки, внутри которых нахо­дится строго один корень. На втором этапе уточняют корень, т.е. находят его значение х* с предварительно заданной точностью ε. В практических задачах решением называют любое значение х, отличающееся по модулю от точного значения х* не более чем на величину ε.

Пусть функция f (x) отрицательна в точке a (f (a) < 0), положительна в точке b (f (b) > 0), и непрерывна на отрезке [a, b] график функции пересекает ось Х, т. е. на этом отрезке имеется корень уравнения–точка,в-которой-f(х)= 0.

Тот же вывод следует, если f(а) > 0, f(b) < 0. В общем виде это формулируется так: в точках а и b функция f(х) принимает значения разных знаков. Если нам известен хотя бы один такой отрезок, пусть и большой длины, мы можем построить процедуру быстрого и сколь угодно точного поиска корня уравнения. Найдем значение функции в точке с, находящейся в середине отрезка: с =(a + b)/2. Знак f(с) совпадает со знаком функции на одном из концов отрезка и противоположен знаку функции на другом конце.

Пусть разные знаки f(х) в точках а и с. Значит на [а, с] наверняка есть искомый корень уравнения.

Таким образом, мы получили задачу, эквивалентную исходной, но теперь длина отрезка, на котором, как нам известно, находится корень, в два раза короче. Отрезок [а, с] опять можно разделить пополам и оставить в рассмотрении только один из двух получившихся (учитывая знаки значений f(х) на концах этих отрезков). Выбранный отрезок вновь разделить, и продолжать так до тех пор, пока отрезок, на котором находится корень, не станет достаточно мал.

Метод Ньютона, или метод касательных основан на вычислении не только значений функции, но и значений ее производной. Разложим f(х) в ряд Тейлора и отбросим члены ряда выше второго порядка:

f (х) = f (х0) + f’ (х₀)(х – x₀)

В этом приближении корень функции легко найти по формуле:

f (x) = 0, при x_i = x_i+1 – f (x₀)/f ' (x₀)

Для нелинейных функций это, конечно, не точное равенство, но способ получить значение, более близкое к корню. Таким образом, метод Ньютона состоит в построении последовательности итераций:

x₁ = x₀ – f (x₀)/ f ' (x₀)

x₂ = x₁ – f (x₁)/ f ' (x₁)

x_i+1 = x_i – f (x_i)/ f ' (x_i)

На какой итерации завершать процесс нахождения корня? Возможно два варианта: либо когда значение функции станет достаточно маленьким по абсолютной величине:

| f (x)| < eps, либо когда практически перестанет меняться значение х:

| f (x)/ f '(x)| < eps

| X_i+1 – X_i| <= eps

Дата добавления: 2015-03-29