Формулировка транспортной задачи

Метод потенциалов.

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций.

Метод потенциалов позволяет за несколько шагов (итераций) найти полностью оптимальное решение транспортной задачи. Перед решением задачи этим методом нужно найти допустимое начальное решение одним из методов, описанных в разделе выше.

Пусть — пункты производства/потребления, — дуги перевозок, — цены провоза по дугам , — набор базисных столбцов.

Задача формулируется как найти

при условиях

где — стоимости провоза по дугам, — производство (+) / потребление (-)

— решение

Матрица ограничений транспортной задачи состоит из столбцов , содержащих всего два ненулевых элемента — +1 для производителя и −1 для потребителя.

Алгоритм

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода, в котором базисная матрица представлена в виде дерева.

Двойственные переменные симплекс-метода для транспортной задачи называются потенциалами.

Потенциалы вычисляются по формуле , что эквивалентно

Для дуги потенциалы дуг связаны формулой .

Таким образом, потенциал потребителя равна потенциалу производителя + стоимость перевозки. С экономической точки зрения это можно трактовать как стоимость продукта в точке потребления.

Проверка оптимальности плана легко трактуется с экономической точки зрения — если стоимость продукта в точке потребления больше стоимости в точке производства + цена перевоза, по этой дуге следует везти. Величина называется невязкой дуги.

Добавление дуги приводит к возникновению цикла в дереве. Увеличение провоза по вводимой дуге приводит к пересчету потоков в цикле, провоз по одной из дуг при этом уменьшится до нуля. Дугу с нулевым потоком удаляем из базиса, при этом базисный граф остается деревом (цикл разрывается).

Остается только пересчитать потенциалы — добавить (или вычесть — зависит от направления дуги) ко всем вершинам «повисшей ветки» величину невязки

Процесс завершается, когда для всех дуг условие оптимальности выполняется для всех дуг.

Дата добавления: 2015-03-29