Вычисление потенциалов

Проверка плана на вырожденность

Разделение ячеек на базисные и свободные

Вычисление общей стоимости транспортировки

Алгоритм решения метода потенциалов

Эта проверка не входит в алгоритм метода потенциалов, но может потребоваться для исключения арифметических ошибок (при ручном расчете на бумаге) или самопроверки алгоритма при компьютерных вычислениях. Особенностью распределения груза по транспортной таблице является совпадение суммы объемов по строкам с запасами соответствующего поставщика, а суммы объемов по столбцам — с потребностями соответствующих потребителей.

В показанном выше примере,

§ Для 1-й строки: 30 кг = 20 + 10 кг

§ Для 2-й строки: 40 кг = 20 + 20 кг

§ Для 3-й строки: 20 кг = 10 + 10 кг

§ Для 1-го столбца: 20 кг = 20 кг

§ Для 2-го столбца: 30 кг = 10 + 20 кг

§ Для 3-го столбца: 30 кг = 20 + 10 кг

§ Для 4-го столбца: 10 кг = 10 кг

Этот шаг также не входит в сам алгоритм метода потенциалов, но он полезен для распечатки результатов и показа, что алгоритм движется в правильном направлении, уменьшая на каждом (или не на каждом) шаге общую себестоимость перевозки. Для всех ячеек цена умножается на объем перевозки и полученный результат суммируется.

	B1, 20 кг	B2, 30 кг	B3, 30 кг	B4, 10 кг
A1, 30 кг	С11=2 руб./кг, X11=20 кг	С12=3 руб./кг, Х12=10 кг	С13=2 руб./кг	С14=4 руб./кг
A2, 40 кг	С21=3 руб./кг	С22=2 руб./кг, Х22=20 кг	С23=5 руб./кг, Х23=20 кг	С24=1 руб./кг
A3, 20 кг	С31=4 руб./кг	С32=3 руб./кг	С33=2 руб./кг, Х33=10 кг	С34=6 руб./кг, Х34=10 кг

В нашем примере, сумма затрат на перевозку груза составляет

2×20 + 3×10 + 2×20 + 5×20 + 2×10 + 6×10 = 290 руб.

Ячейки (клетки) транспортной таблицы с ненулевыми перевозками называются базисными, а клетки с нулевыми объемами перевозки — свободными.

Базисных (см. выше) ячеек таблицы должно быть не менее m+n-1, где m и n — соответственно, число поставщиков и потребителей, иначе решение считается вырожденным и требует введения в базис одной из ячеек с нулевой перевозкой(чтобы алгоритм не впал в бесконечный цикл, эта ячейка должна быть случайной). Для исключения ситуаций с вырожденностью к объемам потребления добавляют небольшие возмущения — числа, заведомо ничтожные при перевозках (такие как 0.00001), при этом к объему поставки одного из поставщиков добавляют их сумму (или наоборот).

Каждому поставщику A_i соответствует потенциал U_i, а каждому потребителю B_j соответствует потенциал V_j. Данциг называет потенциалы U_i и V_j симплекс-множителями или неявными ценами. Чтобы определить эти потенциалы, полагают, что U₁ =0, а остальные потенциалы вычисляют из соотношения

U_i + V_j = C_ij

для всех занятых (базисных) ячеек таблицы (отмечены зеленым).

	V1	V2	V3	V4
U1=0	С11=2 руб./кг	С12=3 руб./кг
U2		С22=2 руб./кг	С23=5 руб./кг
U3			С33=2 руб./кг	С34=6 руб./кг

U₁+V₁=2. Поскольку U₁=0, 0+V₁=2, следовательно, V₁=2 руб./кг

U₁+V₂=3. Поскольку U₁=0, 0+V₂=3, следовательно, V₂=3 руб./кг

U₂+V₂=2. Поскольку V₂=3, U₂+3=2, следовательно, U₂=–1 руб./кг

U₂+V₃=5. Поскольку U₂=–1, –1+V₃=5, следовательно, V₃=6 руб./кг

U₃+V₃=2. Поскольку V₃=6, U₃+6=2, следовательно, U₃=–4 руб./кг

U₃+V₄=6. Поскольку U₃=–4, –4+V₄=6, следовательно, V₄=10 руб./кг

При компьютерной реализации удобно использовать рекурсию: взаимный вызов двух функций, которые отрабатывают алгоритм, соответственно, по строкам и по столбцам. Если на предыдущем шаге 4 (в разделе «Проверка плана на вырожденность») в базис была введена случайная не занятая ячейка, то вычисление u и v может дать сбой, и в этом случае случайный выбор вводимой в базис нулевой ячейки на предыдущем шаге 4 следует повторить.

Дата добавления: 2015-03-29