Теорема Ролля, Лагранжа, Коши их применение

Теорема Ролля: Если функция определена на отрезке [a, b] и непрерывна на нём, дифференцируема на (a, b) и принимает равные значения на концах отрезка, то существует точка с из (a, b) в которой производная равна нулю.

Основные пункты.

а) Функция определена на [a, b]

б) Дифференцируема на (a, b)

в) f(a) = f(b)

г) f (c) = 0

(вместо E с закорючкой точка c)

Теорема Лагранжа: Если функция непрерывна на [a, b] дифференцируема на (a, b), то существует точка с из (a, b) такая, что выполнено равенство такая, что выполнено равенство - Формула конечных разностей. Геометрически теорема Лагранжа означает, что найдётся такая точка c, где касательная параллельна секущей.

Теорема Коши: Пусть даны две функции и такие, что:

1. и определены и непрерывны на отрезке ;

2. производные и конечны на интервале ;

3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале

4. ;

тогда

, где

(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале .)

Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .

Дата добавления: 2015-03-31