Условия монотонности функции. Экстремумы функции

Правило Лопиталя.

Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует , тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Условия монотонности функции

Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой

точке производную Тогда

возрастает на тогда и только тогда, когда

убывает на тогда и только тогда, когда

Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда

если то строго возрастает на

если то строго убывает на

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Пусть и всюду на интервале определена производная Тогда строго возрастает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Экстремум функции – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Алгоритм нахождения 1) D(f); 2) 3) =0 или не существует; 4) Нанести критические точки на действительную ось и определить знак функции на каждом отрезке.

Дата добавления: 2015-03-31