Арифметика бес­конечно малых последовательностей

Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть . Возьмем произвольный .

Аналогично

.

Обозначим .

Тогда .

То есть

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

, - ограниченная, то есть .

Возьмем произвольный .

- бесконечно малая.

.

Обозначим . Тогда

.

То есть

Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.

5) Б.б. последовательности и их связь с б.м.
Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3,... 1, n,... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для x_n с нечетными номерами.

6) Арифметические свойства пределов последовательностей (предел суммы, предел произведения).

Определение.

Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. В противном случае (если предел бесконечный или не существует)- расходящаяся последовательность

Теорема 1.

Пусть { }, { } – сходящиеся последовательности, тогда последовательности { };{ };{ }-сходятся, причем ; .

Доказательство.

1) Для { }.

Последовательность { } сходится , где { } – бесконечно малая последовательность.

Последовательность { } сходится , где { } – бесконечно малая последовательность(б.м.п.).

Рассмотрим . Обозначим . { }, { } - б.м.п. б.м.п. - б.м.п..

Таким образом

2) Для { }.

Аналогично: , { }- б.м.п., , { }- б.м.п. . Обозначим . { },{ } - б.м.п. - б.м.п. - б.м.п..

Таким образом - б.м.п. .

7) Арифметические свойства пределов последовательностей (предел частного).

если то существует .

Док-во: где

- бесконечно малая последовательность.

По условию

-ограниченная.

бесконечно малая.

.

8) Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

.

< <

< . < .

Противоречие.

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1 .

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев

Замечание: обратное не верно.

9) Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в неравенства.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть , . . Тогда .

Замечание:

.

Доказательство (от противного):

Пусть .

Возьмем .

Обозначим

.

- противоречие.

Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .

= , = , .

Дата добавления: 2015-04-23