Теорема: (об отделимости от нуля)

Теорема (о промежуточной последовательности).

Пусть , и . Тогда существует .

Замечание:

().

Доказательство:

Возьмем произвольный .

. Тогда . . ( ).

.

Пусть и . Тогда .

Замечание: - ограниченная.

().

.

.

10) Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Определение: -монотонно возрастающая (монотонно убывающая), если (). Если неравенства строгие, то последовательности строго возрастающие (убывающие).

Теорема (о пределе монотонной последо­вательности). Пусть -монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем .

Доказательство:

ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней грани . Докажем, что .

: 1)

2) .

Возьмем произвольный , обозначим из 2).

1)=>

2)=> (монот. возр).

Из этого следует, что , => .

Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)

(огр. на б.м.).

11) Число е (доказательство теоремы о существовании предела).

Сложно доказать, что функция при имеет предел. Этот предел обозначается буквой в честь открывшего его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что это- иррациональное число и что =2,718281828459…. Формула, определяющая число по традиции называется второй замечательный предел. . Также число -основание натуральных логарифмов.

Рассмотрим .

Дата добавления: 2015-04-23