Доказательство: (метод деления пополам)

I). Проведем построение системы отрезков.

ограниченная .

Рассмотрим точку - середину отрезка .

1) В отрезке содержится бесконечное число элементов .

Тогда , .

2) В противном случае , , -содержит бесконечное число элементов .

Рассмотрим точку - середину и так далее.

1.

2. в содержится бесконечное число элементов .

3. .

II). Выбор подпоследовательности

По лемме о вложенных отрезках:

1) произвольный элемент из

2) элемент из :

………………………………………………….

k) элемент из :

Докажем, что .

0 ().

.

15) Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).

1) Необходимость: (=>).

Пусть . Возьмем произвольный Тогда .

. Обозначим , тогда

.

фундаментальна.

2) Достаточность: (<=).

1. фундаментальна => ограниченная .

Возьмем , , тогда .

Обозначим . .

ограничена.

2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

ограниченная => - сходящаяся. Обозначим

3. Докажем, что

Возьмем произвольный . фундаментальная => .

Обозначим и выберем

1) k>K

2)

Тогда .

. То есть

16) Предел функции: два определения и их эквивалентность.

Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.

Определение 1 (Гейне): , если , ,

Замечание:

Определение 2 (Коши): , если .

.

Замечание: , то есть .

Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.

Имеем . .

Возьмем произвольную = => .

Обозначим . Тогда 0< .

Дата добавления: 2015-04-23