Теорема Гаусса (основная теорема алгебры)

АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ. Наибольший общий делитель двух многочленов (алгоритм Евклида).

Многочленом n -ой степени называется функция вида

,

где – постоянные коэффициенты (действительные или комплексные), а – комплексная переменная, которая может принимать любые комплексные значения или, выражаясь геометрическим языком, может быть любой точкой комплексной плоскости.

Если при , то число называется корнем или нулем многочлена .

Для многочленов определены следующие арифметические операции:

В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.

Деление многочленов с остатком.

,

,

где – частное, а – остаток.

Теорема Безу.

Для того, чтобы многочлен имел (комплексный) корень , необходимо и достаточно, чтобы он делился на , т.е. чтобы его можно было представить в виде произведения , где – некоторый многочлен степени n-1.

Если при разложении , то на основании теоремы Безу применимой к , многочлен не делится на , а хотя и делится на , но не делится на . В этом случае говорят, что – простой корень (нуль) многочлена .

Пусть теперь . Тогда по теореме Безу, применимой к , многочлен делится на , и мы получим , где – некоторый многочлен степени n-2. Если , то делится на , но не делится на , и тогда число называется корнем (нулем) кратности 2.

В общем случае для некоторого натурального имеет место

,

где – многочлен степени n-s, и тогда говорят, что – корень (нуль) многочлена кратности s.

Всякий многочлен n -ой степени (ненулевой, т.е. ) имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).

Следствие из теоремы Гаусса.

Многочлен n -ой степени со старшим не равным нулю коэффициентом имеет n комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря представляется в виде произведения

,

где – различные корни кратностей, соответственно .

Если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексные корни, то они входят сопряженными парами, т.е. если – корень многочлена , то и корень будет являться корнем многочлена .

Раскладывая в разложении на квадратичные множители многочлена комплексные корни на сопряженные, т.е. получим разложение многочлена на линейные множители.

В результате получим разложение вида

,

где отвечает вещественному корню b кратности l, а – комплексным корням и кратности m.

Дата добавления: 2015-04-24