Базис и размерность линейного пространства

Число n называется размерностью линейного пространства L, если:

1) в L существует система из n линейных векторов;

2) любая система из n+1 векторов в L – линейно зависима.

Замечание: В n -мерном пространстве L линейно зависима любая система из вектора.

Базисом n -мерного линейного пространства L называется всякая линейно независимая система в L, состоящая из n -векторов.

Базисы в линейных пространствах.

1) , .

Базис в L – любая тройка некомпланарных векторов. Канонический базис:

.

2) , .

Базис в L образует, например, . Канонический базис:

.

3) , .

4) , .

Канонический базис:

.

Определение Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами.

Теорема Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность .

Доказательство. Возьмем систему векторов

Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

Преобразуем левую часть:

Следовательно,

откуда , , . Итак, система векторов -- линейно независима.

Пусть -- произвольный вектор пространства, Очевидно, что

Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.

Дата добавления: 2015-04-24