Фононы и теплоемкость твердых тел

Закон Стефана-Больцмана.

Вычислим полную энергию излучения, для чего проинтегрируем формулу Планка для энергетической светимости по частоте

.

Введем безразмерную переменную

,

Тогда выражение примет вид

.

Интеграл в этом выражении равен

.

Тогда энергетическая светимость абсолютно черного тела равна

.

Величина

называется постоянной Стефана-Больцмана. С учетом этой постоянной выражение для примет вид

.

Оно называется законом Стефана-Больцмана.

Если излучает не абсолютно черное тело, то применяется формула, включающая коэффициент серости

.

(При сдаче экзамена ответ на этот вопрос можно посмотреть по своим лекциям)

Рассмотрим твердое тело, молекулы которого находятся в узлах кристаллической решетки и совершают малые колебания около этих узлов.

Совокупность этих колебаний можно представить как некоторую стоячую волну в кристалле. Этих волн в кристалле может быть два вида: продольные и поперечные. При этом поперечных волн может быть две, а продольная – одна. Положим, что скорость продольных волн приблизительно равна скорости поперечных. Перемножив число стоячих волн на распределение Бозе-Эйнштейна и энергию квантового осцилятора, получим, что плотность энергии колебаний, т.е. полная внутренняя энергия единицы объема кристалла равна

,

где

для однородных кристаллов.

Величина называется температурой Дебая.

Полученная формула для внутренней энергии твердого тела, позволяет вычислить его теплоемкость

или применительно к одному молю вещества

Анализ этой формулы показывает, что при высоких температурах, когда

теплоемкость твердого тела равна

.

При низких температурах теплоемкость пропорциональна .

(При сдаче экзамена ответ на этот вопрос можно посмотреть по своим лекциям)

Дата добавления: 2015-04-24