Понятие обратной функции, ее производная

Теорема. Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х₀ производная f¢(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у₀=f(x₀) и g¢(y₀)=1/f(x₀) или x¢_y=1/y¢_x.

Доказательство.

Пусть а=f¢(x₀). Тогда из дифференцируемости f(x) в х₀ следует, что приращение Dу= f(x₀+Dх) - f(x₀) можно представить в виде Dу=аDх+аDх=(а+а) Dх, где а=а(Dх)®0 при Dх®0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что Dх®0, когда Dу®0. Имеем

g¢(y0)= lim g(y+Dy)-g(y0) = lim Dx =lim ìDyü-1 = 1.

Dy®0 Dy Dy®0 Dy Dy®0 îDxþ f¢(x0)

6. . Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование -в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.

Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.

Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции, при условии V=const.

7. Дифференцируемость функции. Дифференциал.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

8.

Дата добавления: 2015-04-24