Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x)[f₁(x) ≤ f₂(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

где t₁ и t₂ определяются из уравнений a=x(t₁), b=x(t₂) [y(t) ≥ 0 при t₁ ≤ t ≤ t₂].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b] - гладкая (т. е. производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t₁ до t₂, вычисляется по формуле:

Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ), α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна:

Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:

где y=f(x) [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

Практические задания

1. Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

1) .

Решение:

Проверка:

- верно.

2) .

Решение:

Проверка:

- верно.

3) .

Решение:

Проверка:

- верно.

4) .

Решение:

Проверка:

- верно.

5) .

Решение:

Проверка:

- верно.

6) .

Решение:

Проверка:

- верно.

7) .

Решение:

Проверка:

- верно.

8)

Решение:

Проверка:

- верно.

9) .

Решение:

Проверка:

- верно.

2.Найти неопределенные интегралы:

1) .

Решение:

2) .

Решение:

3) .

Решение:

4) .

Решение:

5) .

Решение:

6) .

Решение:

7) .

Решение:

8) .

Решение:

9) .

Решение:

10) .

Решение:

11) .

Решение:

12) .

Решение:

13) .

Решение:

14) .

Решение:

15) .

Решение:

3. Вычислить определенный интеграл:

1) .

Решение:

2) .

Решение:

3) .

Решение:

4. Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1) .

Решение:

- интеграл I рода.

- сходящийся.

2) .

Решение:

- интеграл II рода.

- расходящийся.

3) .

Решение:

Дата добавления: 2015-04-24