Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при неизвестной дисперсии(СКО)

Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известной дисперсии(СКО)

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего оценить ее математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину а значения вариант выборки х ₁, х ₂,…, х_п как одинаково распределенные независимые случайные величины Х ₁, Х ₂,…, Х_п, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом М () = а, (используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства. Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

р () = 2Ф. Тогда, с учетом того, что, р () = 2Ф=

=2Ф(t), где. Отсюда, и предыдущее равенство можно переписать так:

. (18.1)

Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал, где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.

Пример. Найдем доверительный интервал для математического ожидания нормально распреде-ленной случайной величины, если объем выборки п = 49, σ = 1,4, а доверительная вероятность γ = 0,9.

Определим t, при котором Ф(t) = 0,9:2 = 0,45: t = 1,645. Тогда

, или 2,471 < a < 3,129. Найден доверительный интервал, в который попадает а с надежностью 0,9.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину

, (18.2)

где - выборочное среднее, s — исправленная дисперсия, п — объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента (см. лекцию 12) с k = n — 1 степенями свободы.

Поскольку плотность распределения Стьюдента, где, явным образом не зависит от а и σ, можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (- t_γ, t_γ), учитывая четность плотности распределения, следующим образом:. Отсюда получаем:

(18.3)

Таким образом, получен доверительный интервал для а, где t_γ можно найти по соответствую-щей таблице при заданных п и γ.

Пример. Пусть объем выборки п = 25, = 3, s = 1,5. Найдем доверительный интервал для а при γ = 0,99. Из таблицы находим, что t_γ (п = 25, γ = 0,99) = 2,797. Тогда, или 2,161< a < 3,839 — доверительный интервал, в который попадает а с вероятностью 0,99.

50.

51.

Дата добавления: 2015-04-24