Компактные операторы. Теорема Арцелла. (док-во достаточности)

Оператор , отображающий банахово пространство в себя (или другое банахово пространство), называется компактным (вполне непрерывным), если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное.

Теорема Арцелла: Для того, чтобы Семейство оператора A определённых на некотором отрезке [a,b] было компактным, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор был равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Достаточность[править исходный текст]

Необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства F влечёт существование конечной -сети для всякого конечного .Фиксируем .

Пусть K — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.

Выберем такое , которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине . Рассмотрим прямоугольник и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем по горизонтали и по вертикали. Пусть ,…, — узлы этой решётки (по оси абсцисс).

Если рассмотреть произвольную функцию , то для каждого узла решётки обязательно найдётся такая точка решётки, что . Если рассмотреть ломаную функцию , которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на , то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на , ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на .

Поскольку каждая точка x отрезка [a,b] оказывается на одном из таких отрезков, скажем, [ ], то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит :

.

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является -сетью для заданного .

Дата добавления: 2015-04-24