Сопряженные, самосопряженные и унитарные операторы и их свойства

Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором линейном нормированном пространстве Е, образует линейное пространство, которое называется пространством, сопряженным с Е, и обозначается .

Рассмотрим непрерывный линейный оператор у=Ах, отображающий линейное топологическое пространство Е в такое же пространство . Пусть – линейный функционал, определенный на , т.е. . (g, Ax)=().

Это соотношение можно принять за определение сопряженного оператора.

Линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве, называют самосопряженным если

Линейный оператор самосопряженный, если для любых векторов х и у верно равенство

Определение: пусть H – комплексное гильбертово пространство. Линейный оператор U называется унитарным, если он отображает пространство H на все H с сохранением нормы, т.е. если U: H → H и = .

Замечание: свойства унитарных операторов таковы: унитарные операторы действительно являются линейными операторами, кроме того, любой унитарный оператор ограничен, имеет обратный оператор, который также унитарен.

Теорема (критерий унитарного оператора): пусть H – комплексное гильбертово пространство. Линейный ограниченный оператор U: H → H является унитарным тогда и только тогда, когда

31. Компактность операторов. Критерий компактности в пространстве Теорема Рисса (с доказательством).

Оператор , отображающий банахово пространство в себя (или другое банахово пространство), называется компактным (вполне непрерывным), если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное.

Для компактности множества в полном метрическом пространстве необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и вполне ограниченным.

Дата добавления: 2015-04-24