Линейные операторы в линейных нормированных пространствах

Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:

I. Для любых двух элементов определен единственный элемент , называемый суммой и обозначаемый , причем

1) ; 2) ; 3) в существует такой элемент 0, что для всех ; 4) для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем

1) ; 2) ; 3) ;

4) ;

Множество называется нормированным пространством, если:

1) – линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.

2) Для каждого элемента определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое , и выполнены условия:

а) для любого ;

б) для любого и любого ;

в) , для любых

Пусть – линейные нормированные пространства.

Линейным оператором, действующим из в , называется отображение , удовлетворяющее условию: для любых , .

Будем говорить, что в (вещественной или комплексной линейной системе) определен функционал , если каждому элементу поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число .

Линейный оператор, действующий из Е в Е₁, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.

Оператор А называется непрерывным в точке , если для любой последовательности выполняется условие .

Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Е.

Теорема: Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

Дата добавления: 2015-04-24