И. т.д

3-11

2-10

1-01

1 5 10 50 100 500 1000

I V X L C D M

Общие сведения о системах счисления.

Представление информации в ПК. Системы счисления.

Чтобы работать с данными различных видов, необходимо унифицировать форму их представления, а это можно сделать с помощью кодирования.

Кодирование – это операция преобразования символов или групп символов одного кода в символы или группы символов другого кода.

Код – это система условных знаков для представления информации.

Человек кодирует информацию с помощью языка.

Язык – это знаковая форма представления информации.

В многовидовом море информации в качестве универсального вида ее представления на компьютере выступают данные в виде различных цифровых кодов. В связи с этим необходимо ввести понятие системы счисления.

Под системой счисления понимается способ представления любого числа по средствам некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, но они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.

В истории счета существовало множество систем счисления, отличавшихся различными признаками. Однако, анализируя различные системы счисления, можно выделить основной признак, присущий всем системам счисления, - позиционность, в соответствии с которым системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых количественный эквивалент (значение) цифры не зависит от места ее расположения записи числа.

Известные непозиционные системы счисления используют различные правила образования чисел – принципы сложения и умножения.

К непозиционным системам счисления относятся римская системы счисления, которая для образования чисел использует следующие цифры:

В этой системе счисления для образования новых чисел используются принципы сложения и вычитания:

Если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются;

Если цифры слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой.

Пример: XV=10 и 5 =10+5=15

XVII=10 и 5 и 1 и 1=10+5+1+1=17

IX=1 и 10=10-1=9

Римская система счисления в настоящее время не используется в вычислительной практике из-за сложности представления чисел и выполнения арифметических действий. Она используется в нумерации глав книг, на циферблате часов.

Для изображения чисел в настоящее время используется в основном позиционные системы счисления.

Позиционными называются такие системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее места расположения в записи числа.

В таких системах счисления одна и та же цифра принимает различные цифровые значения в зависимости от местоположения (разряда) этой цифры в записи числа.

Пример: 575 – в десятичной системе счисления

Сотни Единицы

Самой древней считается шестидесятеричная вавилонская система счисления, в которой использовалось 60 знаков. Деление часа на 60 минут, а минута на 60 секунд заимствовано именно из этой системы счисления.

К позиционным системам счисления относятся привычная для всех десятичная система счисления. Эта система счисления основана на том, что десять единиц каждого ряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10.

Пример: Число 456,

4- количество сотен, вес=10²

5-количество десятков, вес=10¹

6-количество единиц, вес=10⁰

Поэтому число может быть записано следующим образом: 456=4*100+5*10+6*1=4*10²+5*10¹+6*10⁰ - это развернутая форма записи числа.

В общем виде это правило можно записать так:

А_q=a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+... +a₀q⁰+a_-1q^-1+... +a_-mq^-m

где А – число

q – основание системы счисления

a_i – цифры, принадлежащие алфавиту системы счисления

n – число целых разрядов числа

m – число дробных разрядов числа

Свернутой формой записи числа называется запись виде:

А=a_n-1a_n-2... a₁a₀a_-1.. a_-m

Пример, 456 – свернутый вид записи числа. Именно такой формой записи чисел мы пользуемся.

Количество различных цифр, применяемых в позиционной системе счисления, называют ее основанием. В качестве основания можно взять любое число, большее 1, которое будет определять ее наименование.

Чтобы отличить, в какой системе счисления записано число, рядом с ним внизу справа ставится индекс, равный основанию системы счисления.

Пример: 10100₂-число, записанное в двоичной системе счисления

173,4₈-число, записанное в восьмеричной системе счисления

95,34₁₀-число записанное в десятичной системе счисления

AF,001₁₆-число, записанное в шестнадцатеричной системе счисления

Главным преимуществом позиционных систем счисления по сравнению с непозиционными является удобство преставления чисел и простота выполнения арифметических операций.

2. Позиционные системы счисления, применяемые в ЭВМ.

В современной вычислительной технике, при построении вычислительных машин и при разработке методов программирования используются позиционные системы счисления с основанием 2,8 и 16.

а) Двоичная система счисления.

Эта система счисления с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры: 0 и 1. Все числа в двоичной системе счисления записываются в виде последовательности «0» и «1». Основание 2-ой системы счисления равно q=2.

Запишем двоичное число в развернутой форме:

11011,01₂=1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2=16+8+2+1+0,25=27,25₁₀

Так как в двоичной системе счисления для изображения любых чисел используются только 2 различные цифры, то при построении ЭВМ можно использовать элементы, которые могут находиться только в одном из двух устойчивых состояний (например, высокое или низкое напряжение в цепи, наличие или отсутствие электрического импульса и.т.п.). В качестве таких устройств используются так называемые двухпозиционные элементы, которые работают по- простому и надежному принципу: да - нет, включено-выключено. С их помощью легко изображать разряды двоичного числа, одно устойчивое состояние принимается за 0, другое за 1. Это обстоятельство, а также простота выполнения арифметических операций является причиной того, что большинство современных ЭВМ использую двоичную систему счисления для представления чисел.

б) Восьмеричная система счисления

Неудобство использования двоичной системы счисления заключается в громоздкости записи чисел. Это неудобство не имеет существенного значения для ЭВМ. Однако если возникает необходимость кодировать информацию «вручную», например, при составлении программы на машинном языке, то предпочтительнее, оказывается, пользоваться восьмеричной или шестнадцатеричной системой счисления. Эта система счисления имеет основание, равное целой степени двух, q=8=2³, благодаря этому можно легко перейти к двоичной системе счисления.

В восьмеричной системе счисления используется 8 цифр:

Дата добавления: 2015-04-24