Расчет параметров линейного уравнения регрессии МНК

Понятие регрессии

Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин.

Описание регрессии на эмпирическом уровне сводится к построению эмпирической регрессии.

Эмпирическая регрессия строится по данным аналитической или комбинационной группировок и представляет собой зависимость групповых средних значений признака-результата от групповых средних значений признака-фактора. Графическим представлением эмпирической регрессии является линия эмпирической регрессии - ломанная линия, составленная из точек, абсциссами которых являются групповые средние значения признака-фактора, а ординатами – групповые средние значения признака-результата. Число точек равно числу групп в группировке.

Рекомендуется наносить эмпирическую линию регрессии на «корреляционное поле». Корреляционное поле – точечный график в системе координат (Х;Y). Каждая точка соответствует единице совокупности. Положение каждой точки на графике определяется величиной 2-ух признаков – факторного и результативного (относящихся к данной единице совокупности).

Точки корреляционного поля обычно не лежат на одной линии, они вытянуты определенной полосой вдоль некоторой гипотетической линии.

Эмпирическая линия регрессии отражает основную тенденцию рассматриваемой зависимости. Если эмпирическая линия регрессии по своему виду приближается к прямой линии, то можно предположить наличие прямолинейной корреляционной связи между признаками. А если линия связи приближается к кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи.

Уравнение регрессии – это уравнение, описывающее корреляционную зависимость между признаком-результатом Y и признаками факторами (одним или несколькими).

Наиболее часто для описания статистической связи признаков используется линейное уравнение регрессии. Внимание к линейной форме связи объясняется четкой экономической интерпретацией параметров линейного уравнения регрессии, ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Линейное парное уравнение регрессии имеет вид:

,

где i=1;n, а п – объем совокупности (число наблюдений).

Оценки параметров линейной регрессии (а и b) могут быть найдены разными методами. Наиболее распространенным является метод наименьших квадратов (МНК), который позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака – от расчетных (теоретических) значений – (рассчитанных по уравнению регрессии) минимальна:

.

В случае линейной парной зависимости:

.

В результате получим систему из двух нормальных линейных уравнений:

Согласно методу наименьших квадратов, линия выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.

Дата добавления: 2015-04-24