Векторное произведение. Выражение через координаты. Физический смысл

Скалярное произведение. Выражение скалярного произведения через координаты.

Декартов базис. Длина вектора в декартовом базисе.

Линейная зависимость и независимость векторов.

Проекции вектора на ось.

Линейные операции над векторами. Свойства этих операций.

Произведение вектора a на λ называется вектор c. Направление совпадает c вектора и a, если λ >0, и ему протовоположно если λ <0.

Сумма векторов a и b расположены так что начала, b и a называется вектор c, у которого начало совпадает с началом a, а конеч с с концом b.

Свойства:

1) a+0=a

2) a+b=b+a

3)(a+b)+c=a+(b+c)

c=a-b=a+(-b)

Проекцией вектора лежащей на оси на эту ось, называется число по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны.

Проекцией вектора не лежащего l не лежащей на этой оси, называется проекции его компоненты по оси l на эту ось.

Опр1: Пусть имеется n векторов(a1,a2,a3...an) и n постоянных коэффициентов(c1,c2,c3..cn), тогда выражение c1+a1,a2+c2...an+cn называется линейной комбинацией векторов.

Опр2: Векторы a1,a2..an называются линейно зависимыми если существуют числа c1,c2...cn из которых хотя бы один отличен от 0, также что линейная комбинация =0.

Опр3: Векторы a1,a2..an называются линейно зависимыми, еслихотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

ak=c1*a1+c2*a1+..+cn-1*an

Опр4: Векторы a1,a2..an называются линейно независимыми если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинакции остальных.

Опр5: векторы a1,a2..an называются линейно независимыми если линейная комбинация равна 0, лишь при условии c1=c2=..=cn=0

Опр6: Три ненулевых вектора называются компаланарными если они лежат в одной плоскостиили на паралельных плоскостях.

Опр7: Совокупность любых 2 линейно независимых векторов принадлежащих данной плоскости называется базисом этой плоскости β={e1,e2}, a=x1*e1+x2*e2

Опр8: Совокупность любых 3 линейно независимых векторов в пространстве назывеется базисом в пространстве β={e1,e2,e3}, a=x1*e1+x2*e2+x3*e3

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

a*b=|a|*|b|*Cos(a^b)

a*a=|a|^(2)

Через координаты a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

Cos(a^b)=a*b/(|a|*|b|)

Векторным произведением a и b не нулевых векторов a и b называется такой вектор c который удовлетворяет 3 условия:

1) |c|=|a|*|b|*Sin(a^b)

2) Вектор c перпендикулярен плоскости в которой вектора a и b

3)a,b,c-правая тройка векторов

a x b=[a,b]

Свойства

1. a x b=-b x a

2. λ*(a) x b=(λa) x b=a x λb

3. a x (b+c)=a x b+a x c

(a+b) x (d+c)=a x c+b x c+a x d+b x d

Два вектора коллинеарны если их векторное произведение =0.

|i j k |

a x b= |ax ay az |-определитель

|bx by bz|

Физический смысл: M=r x F-момент силы

Дата добавления: 2015-03-29