Линейные операции над матрицами, перемножение матриц

Кривые со смещенным центром. Канонические сечения.

19.Полярная система координат. Её связь с декартовой.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат r и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

x = rcos φ,

y = rsin,

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

r2 = y2 + x2 (по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:

Для r=0, φ может быть произвольным действительным числом.

Для r неравно 0, чтобы получить уникальное значение φ, следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал [0,2п) или(-п,п].

20. Преобразование координат: параллельный перенос, поворот осей.

Преобразование координат при параллельном переносе:

OO1+O1m=r

O1(a,b)=>y=Y+b,x=x+a

X=x-a, Y=y-b

Преобразование координат при повороте осей:

x=|r|*Cos(φ+a)=|r|*(Cos(a)*Cos(φ)-Sin(a)*Sin(φ))

y=|r|*Sin(φ+a)=|r|*(Sin(a)*Cos(φ)+Cos(a)*Sin(φ))

y1= Sin(φ), x1= Cos(φ)

x=x1Cos(a)-y1Sin(a)

y=x1Sin(a)+y1Cos(a)

21. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду(можно на конкретном примере).

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2b₁x+2b₂y=c=0

1) d(дельта)=|a₁₁ a₁₂|

|a₂₁ a₂₂|

d>0 - эллипс

d<0 - гипербола

d=0 – парабола

2) x=x₁Cos(a)-y₁Sin(a)

y=x₁Sin(a)+y₁Cos(a)

Осуществляем поворот

3) x=X+a, y=Y+b

Перенос координатных осей

22. Матрицы, основные определения.

Опр1: Матрицами в математике называются математические объекты имеющие вид таблицы.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A=(a₂₁ a₂₂ … a_2n) - a[m*n]

A_m1 a_m2 … a_mn

A+[a_ij],(i=1,2…m; y1,2…n)

Опр2: Если число n строк совпадает с числом её столбцов, она называется квадратной и имеет размерность a[n*n]

Опр3: Элементы a₁₁ a₂₂ … a_mn, квадратной матрицы A образуют, так называемую главную диагональ, а элементы a_n-1 a_(n-1)2 … a_in- образуют побочную диагональ.

Опр4: Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, стоящие выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Опр5: Квадратная матрица называется диагональной, если все стоящие не на главной диагонали равны нулю.

Опр6: Диагональная матрица, все элементы которой равны единице, называется единичной

1 0 … 0

E=(0 1 … 0)

0 0 … 1

Опр7: Матрица в которой все элементы равны 0, называется нулевой.

1. Равенство матриц. Две матрицы A и B с одинаковыми размерностями [m*n], называются равными если элементы матриц с одинаковыми индексами совпадают.

2. Сложение матриц. Матрица C=A+B, называется сумма матриц A и B, если каждый элемент матрицы C является суммой элементов матриц с одинаковыми индексами

C_ij=a_ij+b_ij(i=1,2…m; j=1,2…n)

Свойства сложения матриц:

1) Коммутативность A+B=B+A

2) Ассоциативность (A+B)+C=A+(B+C)

3) A+0=A

3. Умножение матриц на число. C= λ*A, A[m,n], если для каждого элемента матрицы C, справедливо соотношение C_ij= λ *a_ij(i=1,2..m; j=1,2..n)

Свойства умножения матрицы на число:

1) (λ*m)*A= λ*(m*A)

2) λ(A+B)= A+ λB

3) (λ+m)A= λA+mA

4. Умножение матриц. Матрица C[m,n]=A[m,r]*B[r,n], если для любого элемента матрицы C имеент место быть соотношение:

C_ij=ai₁b_1j+a_i2b_2j+..+a_irb_rj

То есть строка на столбец.

Свойства умножения:

1) A*B≠B*A

2) (A*B)*C≠A*(B*c)

3) A+B)*C=A*C+B*C

4) A*E=A

5) A*0=0

6) Det(A*B)=detA*DetB

24. Обратная матрица, её построение.

Опр1: Матрица A^-1 – называется обратной по отношению к квадратной матрице An – n-порядка, если A*A^-1=A^-1*A=E

A11 A21 A31

A^-1=1/det(A) *(A12 A22 A32)

A13 A23 A33

Дата добавления: 2015-03-29