Взаимное расположение двух прямых в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости

Смешанное произведение, выражение через координаты, геометрический смысл.

Смешанным произведением ненулевых векторов a,b,c, называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

a*(b x c)

Свойства:

1) a(b x c)=b(c x a)=c(a x b)

2)a(b x c)=-a(c x b)

3)a(b x c)=c(a x b)=(a x b)c

4)Выражение через координаты

|ax ay az|

a x b= |bx by bz |-определитель

|cx cy cz|

Геометрический смысл:

1) a,b,c - правая тройка

Vп=a(b x c)

2) a,b,c - левая тройка

Vл=-a(b x c)

Теорема: Для того чтобы ненулевые векторы a,b,c были коллинеарными необходимо и достаточно(<=>), чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

9. Предмет аналитической геометрии, 2 её основные задачи.

Задачи:

1. Изучить конкретно геометрические объекты путём задания уравнения этим объектам в координатнном пространстве(2d и 3d). Под уравнением мы будем понимать всякое уравнение, устанавливающее связь между координатами всех точек принадлежащих данному объекту.

2. Изучить свойства объектов аналитически, т.е. путём анализа их уравнения.

10. Плоскости в пространстве: вывод канонического уравнения, приведение общих уравнений к каноническим.

1)Векторное уравнение плоскости

M0(x0,y0,z0), n

M0M=r-r0

n0 перпендикулярен M0M=>n*M0M=0

(r-r0)*n=0

2) Уравнение плоскости проходящей через данную точку

(r-r0)*n=A(x-x0)+b(y-y0)+C(z-z0)

A(x-x0)+b(y-y0)+C(z-z0)=0

3) Общее уравнение плоскости

A(x-x0)+b(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-Ax0-By0-Сz0=Ax+By+Cz+D=0

4) Уравнение плоскости в отрезках

x/a+y/b+z/c=1

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Опр1: Угол между 2 прямыми, называется минимальный угол между их направляющими векторами.

Cos(l1^l2)=Cos(S1^S2)=(m1*m2+n1*n2+p1*p2)/sqrt(m1^2+n1^2+p1^2)*sqrt(m2^2+n2^2+p2^2)

l1||l2=>M1/m2=n1/n2=p1/p2

l1⊥ l2=>m1*m2+n1*n2+p1*p2=0

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Опр1: Угол между прямой и плоскостью, называется углом между прямой и её проекцией на эту плоскость.

l:x-x0/m=y-y0/n=z-z0/p

P:Ax+ByCz+D=0

S(m,n,p), n(A,B,C)

Cos(l^P)=n*s/|n|*|S|

Cos(n^S)=(A*m+B*n+C*p)/sqrt(A^2+B^2+C^2)*sqrt(m^2+n^2+p^2)

l||P=>S⊥ n=>S*n=0=>A*m+B*n+C*p=0

l⊥ P=>S||n=>A/m=B/n=C/p

13. Прямая на плоскости: различные виды уравнений, взаимное расположение двух прямых.

1)Каноническое уравнение прямой на плоскости

M0M=r-r0=(x-x0,y-y0)

M0M||S=>x-x0/m=y-y0/n

2) Общее уравнение прямой на плоскости

x-x0/m=y-y0/n=

n(x-x0)=m(y-y0)

nx-nx0-my+my0=0

Ax+By+C=0

3)Уравнение прямой проходящей через заданную точку, перпендикуляра N. n=(A,B)

x-x0/m=y-y0/n

n(x-x0)=m(y-y0)

n(x-x0)-m(y-y0)=0

n1=(n,m)-гипотетически

S(m,n)

S*n=m-m+n-n=0

A(x-x0)+B(y-y0)=0

4) Уравнение Прямой в отрезках

x/a+y/b=1

5) Параметрическое уравнение прямой на плоскости.

x-x0/m=y-y0/n=λ

x-x0/m=λ x=x0+λm

y-y0/n=λ y=y0+λn

6) Уравнение прямой проходящей через две точки

M1(x1,y1), M2(x2,y2)

x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1

В теради ещё 2 пункта(метка2)

14. Эллипс: геометрическое определение, вывод канонического уравнения.

Эллипсом называют множество точек плоскости суммы растояний которых до двух данных точек(называемых фокусамы), есть величина постоянная равная 2a/

Тетрадь

15. Эллипс: основные свойства.

Тетрадь

16.Гипербола: геометрическое определение, каноническое уравнение(без вывода), основные свойства.

Тетрадь

17. Парабола: геометрическое определение, каноническое уравнение, основные свойства.

Тетрадь

Дата добавления: 2015-03-29