Метод простої ітерації

Метод ітерацій (або метод послідовних наближень) широко застосовується для уточнення коренів рівнянь, особливо при застосуванні ПЕОМ.

Для застосування ітераційного методу рівняння f(x)=0 перетворюють до виду:

x=j(x) (3.2)

При цьому процес уточнення кореня суттєво спрощується, якщо останнє рівняння вважати рекурсивним. Взявши деяке початкове значення x₀ і підставивши його в праву частину рівняння (3.2), можна отримати ітераційну послідовність:

x_k=j (x_{k – 1} ).

Графічну інтерпретацію ітераційних методів розв’язування рівняння зображено на рис.3.1 (а, б, в).

а) б)

в)

Рис.3.1.

Збіжність ітераційної послідовності x_k=j (x_{k – 1} ), тобто існування границі забезпечує наступна теорема.

Теорема Ліпшиця (достатня умова збіжності ітераційного процесу). Якщо функція у=j(x), якою задана права частина рівняння x_k=j(x_k-1),має корінь х* і в деякому околі U (U={x: |x-x*| ≤ r}) задовольняє умову Ліпшиця
| j(x) – j(x*)| ≤ q |x-x*|, де q<1, то послідовність x_k збігається до кореня х*, починаючи з будь-якого хÎ U. При цьому швидкість збіжності визначається нерівністю |x_k-x*| ≤ q^k |x₀-x*|

Дата добавления: 2015-05-23